Etape 1 : détermination de l’ordre d’intégration





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Université de Cergy-Pontoise

Mémoire d’économétrie

Etude du taux d’inflation de l’indice des prix à la production des matières premières.



CLEMENT Thibault LUCAS Aymeric KAID Ahmed

25/01/2009









Sommaire
Remerciements -------------------------------------------------------------------------------------------------- page 2

Présentation de la série -------------------------------------------------------------------------------------- page 3

Détermination de l’ordre d’intégration ------------------------------------------------------------------ page 3

Détermination des modèles -------------------------------------------------------------------------------- page 4

Comparaison des modèles ---------------------------------------------------------------------------------- page 4

Prévisions des 6 prochains mois --------------------------------------------------------------------------- page 5

Annexes ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- page 6
Nous tenons à remercier Mme Frédérique BECK pour son enseignement en introduction à l’économétrie, ainsi que Mme Sophie DANTAN pour le temps qu’elle nous a accordé et pour ses précieux conseils.

Mémoire d’économétrie
D’après le graphique du taux d’inflation étudié (annexe 1), on choisit de retenir un cas 2 car il n’y a pas de tendance et que de plus la moyenne est de 0,23  0, donc on élimine les cas 1 et 4. On remarque de plus que la courbe “oscille“ réellement autour de 0,23, ce qui nous confirme notre choix de prendre un cas 2.

Par l’annexe 2, on peut déduire de notre histogramme une légère asymétrie à gauche grâce au coefficient Skewness = -0,052 < 0. La distribution a de plus d’avantage d’observations vers les extrémités qu’une loi normale, comme en atteste le coefficient Kurtosis = 5,88 > 3. On fait maintenant le test de Jacque-Berra :
H: normalité de la distribution

JB= 56,73 > 6 donc on rejette H0.
L’équation est donc donnée dans un cas 2 par :

Y(t) = c +  Y(t-1)
On tape sur l’ordinateur :

ppiaco c ppiaco(-1)


  • Etape 1 : détermination de l’ordre d’intégration


Test de Dickey-Fuller: (annexe 3)

H0 : c = 0 et  = 1
t-stat = = = -12,98 < -2,88

T ( - 1) = -198,37 < -14
On est dans un cas 2, on a 239 observations soit environ 250, les seuils respectifs pour la t-stat et pour T(-1) sont donc -2,88 et -14.

On rejette H0, la série semble être stationnaire en niveau I(0). On vérifie maintenant que les résidus ne sont pas auto-corrélés. On voit qu’à partir de la 5ème observation, il y a présence d’auto-corrélations des résidus (annexe 4) donc on fait un test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 1 (dont l’équation sur Eviews est : ppiaco c ppiaco(-1) d(ppiaco(-1)) ) qui montre que les résidus sont auto-corrélés à partir de la 10ème observation (annexe 5). On passe donc à un test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 2 qui montre comme celui à l’ordre 3 que les résidus sont respectivement auto-corrélés à partir des observations 13 (annexe 6) et 13 (annexe 7). On fait donc un test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 4 dont les résidus ne sont auto-corrélés qu’à partir de la 23ème observation (annexe 8). L’équation informatique de ce test est :

ppiaco c ppiaco(-1) d(ppiaco(-1)) d(ppiaco(-2)) d(ppiaco(-3))
Test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 4 : (annexe 9)

H: c = 0 et  = 1
t-stat = = = -6,85 < -2,88

T ( - 1) = 235 ( 0,116 – 1) = -207,74 < -14

La série est donc I(4).

  • Etape 2 : détermination des modèles


Il faut maintenant déterminer les modèles ARMA qui expliqueront la série étudiée.
On effectue des tests sur la série pour déterminer l’ordre maximal de l’AR : on estime la série par l’équation : ppiaco c ar(1) … ar(p), où p représente l’ordre pour lequel la t-stat est inférieure à 5% et les résidus sont non auto-corrélés. A l’aide d’Eviews, on trouve que p = 7.
On fait de même pour déterminer l’ordre maximal du MA. L’équation est de la forme : ppiaco c ma(1) … ma(q), où, de même, q représente l’ordre pour lequel la t-stat est inférieure à 5% et les résidus sont non auto-corrélés. On trouve que q = 8.
On en déduit donc les différents modèles : on a, en premier lieu, les modèles AR(7), MA(8) et ARMA(7,8), et en deuxième lieu, tous les modèles ARMA(p,q) tels que p < 7 et q < 8.

Les différentes équations sont de la forme : ppiaco c ar(1) … ar(p) ma(1) … ma(q)
On fait sur chaque modèle la vérification que la t-stat est inférieure à 5%, et si cela est le cas, on vérifie que les résidus ne sont pas auto-corrélés.
On retient finalement 7 modèles : (les t-stats sont visibles sur les tableaux en annexe 10)

  • AR(7) : les résidus ne sont pas auto-corrélés jusqu’à l’observation 23, annexe 11

  • MA(8) : les résidus ne sont pas auto-corrélés jusqu’à l’observation 23, annexe 12

  • ARMA(1,8) : les résidus ne sont pas auto-corrélés, annexe 13

  • ARMA(2,2) : les résidus ne sont pas auto-corrélés jusqu’à l’observation 23, annexe 14

  • ARMA(3,4) : les résidus ne sont pas auto-corrélés jusqu’à l’observation 27, annexe 15

  • ARMA(6,5) : les résidus ne sont pas auto-corrélés, annexe 16

  • ARMA(7,6) : les résidus ne sont pas auto-corrélés, annexe 17




  • Etape 3 : comparaison des modèles


Parmi les 7 modèles restant, on remarque que certains d’entre eux sont emboités : AR(7) avec ARMA(7,6) et MA(8) avec ARMA(1,8). Pour déterminer les modèles à garder, on effectue un test de log-vraisemblance :

LR = 2(L modèle non-contraint – L modèle contraint)
Puis on compare ce résultat au 2(m) où m est le nombre de degrés de liberté, de contraintes.

Si LR < 2(m) alors on garde le modèle contraint.

Si LR > 2(m) alors on garde le modèle non-contraint.
LR = 2(L ARMA(7,6) – L AR(7)) = 2(-260,64 + 271,07) = 20,86

2(6) = 12,59

LR > 2(6), donc on garde le modèle ARMA(7,6)
LR = 2(L ARMA(1,8) – L MA(8)) = 2(-266,10 + 277,19) = 22,18

2(1) = 3,84

LR > 2(1), donc on garde le modèle ARMA(1,8)
Il ne nous reste donc plus que 5 modèles à comparer.
On va utiliser des critères d’informations (Akaike, Schwarz et Hannan-Quinn) pour les comparer.
Le meilleur modèle doit minimiser ces critères.
A l’aide des tableaux en annexe 10, le modèle ARMA(1,8) domine tous les autres modèles (mis à part le modèle ARMA(2,2) où le critère de Schwarz est plus petit que celui de l’ARMA(1,8) de 0,1, on le néglige donc).
Finalement, il ne nous reste plus qu’un seul modèle : ARMA(1,8)


  • Etape 4 : prévision des 6 prochains mois


Il existe deux façons de faire des prévisions :

  • La prévision statique qui consiste à utiliser les valeurs antérieures constatées pour prévoir les valeurs futures.

  • La prévision dynamique qui consiste à utiliser les valeurs antérieures estimées pour prévoir les valeurs futures.


Dans notre cas, on ne peut pas utiliser la prévision statique puisque le modèle choisit est l’ARMA(1,8) donc on ne dispose que d’un retard, on en aurait dû en avoir six pour utiliser cette méthode. Il ne nous reste donc que la méthode dynamique pour faire la prévision.

Sur Eviews, cela se traduit par l’utilisation de l’outil “forecast“ dans le modèle ARMA(1,8). On obtient, en procédant de la sorte, une nouvelle série incorporant les 6 mois de prévisions.

On obtient donc comme prévisions :

janv-08

0,1067

févr-08

0,3537

mars-08

0,0176

avr-08

0,0538

mai-08

0,4134

juin-08

0,4197


Pour limiter l’inflation, il faut soit baisser la masse monétaire soit augmenter les taux d’intérêt.

Annexe 1 : graphique du taux d’inflation.

annexe1 graphique ppiaco.jpg

Annexe 2 : Histogramme et Statistiquesannexe2 histogram et stats.jpg


Annexe 3 : Test de Dickey-Fuller
annexe3 test dickey fuller.jpg


Annexe 4 : Corrélogramme du test de Dickey-Fuller
annexe4 corrélogramme df.jpg

Annexe 5 : Corrélogramme du test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 1annexe5 corrélogramme adf1.jpg

Annexe 6 : Corrélogramme du test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 2annexe6 corrélogramme adf2.jpg

Annexe 7 : Corrélogramme du test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 3annexe7 corrélogramme adf3.jpg


Annexe 8 : Corrélogramme du test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 4annexe8 corrélogramme adf4.jpg


Annexe 9 : Test Augmented Dickey-Fuller à l’ordre 4
annexe9 test adf4.jpg


Annexe 10 : t-stat et probabilités des modèles AR, MA et ARMA





AR(7)

ARMA(1,8)

ARMA(2,2)

ARMA(3,4)




t-stat

proba

t-stat

proba

t-stat

proba

t-stat

proba

AR(1)

3,13

0,20%

-46,24

0,00%

-4,19

0,00%

2,47

1,41%

AR(2)

-1,93

5,51%

 

 

-8,56

0,00%

-7,14

0,00%

AR(3)

1,67

9,69%

 

 

 

 

4,68

0,00%

AR(4)

0,22

82,58%

 

 

 

 

 

 

AR(5)

-1,08

28,03%

 

 

 

 

 

 

AR(6)

-0,68

49,71%

 

 

 

 

 

 

AR(7)

2,31

2,20%

 

 

 

 

 

 

MA(1)

 

 

18,85

0,00%

4,68

0,00%

-1,28

20,27%

MA(2)

 

 

1,03

30,44%

6,36

0,00%

3,26

0,13%

MA(3)

 

 

-0,54

59,07%

 

 

-3,41

0,08%

MA(4)

 

 

0,70

48,22%

 

 

-2,12

3,54%

MA(5)

 

 

-0,53

59,35%

 

 

 

 

MA(6)

 

 

-0,43

66,51%

 

 

 

 

MA(7)

 

 

1,60

11,16%

 

 

 

 

MA(8)

 

 

3,63

0,03%

 

 

 

 

Log

-271,07

-266,10

-277,65

-271,66

Akaike

2,40

2,31

2,38

2,36

Schwarz

2,51

2,46

2,45

2,48

Hannan-Quinn

2,44

2,37

2,40

2,41







ARMA(6,5)

ARMA(7,6)

MA(8)




t-stat

proba

t-stat

proba

t-stat

proba

AR(1)

2,88

0,44%

-1,99

4,83%

 

 

AR(2)

-2,13

3,46%

4,96

0,00%

 

 

AR(3)

-3,33

0,10%

17,67

0,00%

 

 

AR(4)

2,29

2,30%

2,47

1,43%

 

 

AR(5)

-13,66

0,00%

-7,12

0,00%

 

 

AR(6)

2,48

1,39%

-21,74

0,00%

 

 

AR(7)

 

 

3,66

0,03%

 

 

MA(1)

-1,49

13,81%

21,04

0,00%

3,34

0,10%

MA(2)

0,28

77,87%

-13,13

0,00%

-1,82

7,03%

MA(3)

3,12

0,21%

-42,38

0,00%

0,26

79,28%

MA(4)

-0,64

52,20%

-13,70

0,00%

0,86

38,86%

MA(5)

8,23

0,00%

20,68

0,00%

0,03

97,68%

MA(6)

 

 

83,65

0,00%

-0,37

70,98%

MA(7)

 

 

 

 

1,88

6,19%

MA(8)

 

 

 

 

2,34

2,01%

Log

-263,66

-260,64

-277,19

Akaike

2,36

2,36

2,38

Schwarz

2,53

2,56

2,52

Hannan-Quinn

2,43

2,44

2,44


Annexe 11 : Corrélogramme du modèle AR(7)

annexe 11 corrélogramme ar(7).jpg


Annexe 12 : Corrélogramme du modèle MA(8)
annexe 12 corrélogramme ma(8).jpg

Annexe 13 : Corrélogramme du modèle ARMA(1,8)

annexe 13 corrélogramme arma(1,8).jpg


Annexe 14 : Corrélogramme du modèle ARMA(2,2)

Annexe 15 : Corrélogramme du modèle ARMA(3,4)annexe 14 corrélogramme arma(2,2).jpg
annexe 15 corrélogramme arma(3,4).jpg
Annexe 16 : Corrélogramme du modèle ARMA(6,5)

Annexe 17 : Corrélogramme du modèle ARMA(7,6)annexe 16 corrélogramme arma(6,5).jpg

annexe 17 corrélogramme arma(7,6).jpg



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