Influence de la valeur de la vitesse initiale v0 sur la trajectoire du projectile





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date de publication13.02.2018
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Terminale S

Mouvements plans
I/ Mouvement d’UN pROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR

1.1/ Etude expérimentale

Visualiser le mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur lancé avec une vitesse initiale

Observations

- La trajectoire du mobile est une parabole

- Le mouvement s’effectue dans un plan

- L’accélération verticale est égale à dvy/dt= -g, dvx/dt = 0 et dvz/dt=0
Essayons de retrouver ces résultats en appliquant le 2eme loi de Newton.
1.2/ Résolution analytique, équations horaires

Un projectile est lancé à la date t0 = 0 avec une vitesse initiale faisant un angle  avec l’horizontal. On choisit un repère d'étude (O,,,) tel que l'origine O coïncide avec la position du centre d'inertie G du solide à la date t0=0s. Le plan (,) contient le vecteur . Les frottements et la poussée d’Archimède sont négligés.
Système étudié : la bille de masse m

Référentiel d’étude : le référentiel terrestre supposé galiléen

Inventaire des forces extérieures :

  • le poids


L’application de la 2eme loi de newton montre que dans ces conditions :


( relation 1 )






o

x

y
















z

La projection de la relation 1 donne :



On peut résoudre analytiquement ces trois équations différentielles et obtenir les équations paramétriques de la vitesse :

A, B et C sont des constantes qui dépendent des conditions initiales (à la date t0 = 0) :

On peut résoudre analytiquement ces trois nouvelles équations différentielles et obtenir les équations paramétriques du mouvement :


A’, B’ et C’ sont des constantes qui dépendent des conditions initiales. A la date t0 = 0, les coordonnées sont nulles :


Conclusion

  • A tout instant la coordonnée z est nulle : le mouvement s'effectue dans le plan (, ).

  • , le mouvement sur l’axe horizontal est uniforme.

  • , l’accélération est verticale a tout instant de la trajectoire.


1.3/ Equation de la trajectoire

Equation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques


L’équation (1) donne :

(4)
L’association des équations (2) et (4) permet d’obtenir l’équation de la trajectoire :

Influence de la valeur de la vitesse initiale v0 sur la trajectoire du projectile


Faisons varier la vitesse initiale v0 dans l'équation précédente


y


v0 1 < v0 2 < v0 3

et

 est constant



v0 3





v0 2





v0 1


x









Influence de l’angle de tir  sur la trajectoire du projectile


Faisons varier l’angle de tir  dans l'équation précédente

y


1 > 2 > 3

et

v0 est constant

y








1


2





x

x

3






II/ mouvement DES planetes et des satellites


Référentiels héliocentrique et géocentrique



vers une étoile lointaine 





N

N


S

référentiel héliocentrique


S


vers une étoile lointaine 



N

vers une étoile lointaine 



S

référentiel géocentrique

Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil. Les axes d’un repère sont dirigés vers trois étoiles lointaines (c'est à dire pratiquement fixes).
Le référentiel géocentrique est animé d'un mouvement de translation curviligne par rapport au référentiel héliocentrique. Les axes d’un repère sont dirigés vers trois étoiles lointaines.

2.1/ Lois de Képler
Première loi  (loi des trajectoires) dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le soleil est l'un des foyers.


2b


F1

F2

r1 + r2 = 2a

2a


r 2

r 1

Deuxième loi (loi des aires) le segment de droite reliant le soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales.


Les planètes se déplacent plus rapidement lorsqu'elles sont proches du soleil et plus lentement lorsqu'elles en sont plus éloignées


Soleil


Troisième loi (loi des périodes) pour toute planète du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi grand axe est le même :



C est appelée constante de la loi des aires. Elle ne dépend pas de la planète considérée.
Remarque : dans le référentiel héliocentrique les centres de la plupart des planètes du système solaire ont une trajectoire quasi circulaire( F1 et F2 sont très proches). D’après la deuxième loi de Képler leur mouvement est alors uniforme.

2.2/ Repère de frenet


trajectoire

cercle osculateur






R









sens de parcours de la trajectoire

s est l’abscisse curviligne c’est-à-dire la distance orientée parcourue par G sur sa trajectoire.

Il est alors commode de définir le repère de Frenet (G, , ), c’est un repère mobile lié au mouvement du point G.
La courbe décrite par un point est appelée trajectoire de ce point dans le référentiel d’étude.

On montre mathématique que et
est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire. est le vecteur unitaire normal à la trajectoire et R le rayon de courbure de cette trajectoire au point considéré.
 les composantes de la vitesse dans le repère de Frenet =

 les composantes de l’accélération dans ce repère = =
2.3/ Mouvement circulaire uniforme

Considérons le mouvement circulaire uniforme (v=cste) du centre d’inertie d’un mobile autour d’un point fixe.

Faire un schéma au tableau représentant la trajectoire ainsi que le vecteur vitesse.

Le mouvement est uniforme (v = constante) ; dans ce repère :

Le mouvement est circulaire (R = constante) ; dans le repère de Frenet :

Donc

Rajouter alors le vecteur accélération sur le schéma.
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. L'accélération est normale (contenue dans le plan de la trajectoire) et centripète (dirigée vers le centre du cercle).

2.4/ Mouvement d’un satellite terrestre à orbite circulaire
Rappel

Enoncé de la loi de gravitation universelle

Deux corps dont la répartition des masses mA et mB est à symétrie sphérique, séparés d'une distance AB grande devant leur taille, exercent l'un sur l'autre des forces attractives et , de même direction, de sens opposés et de même valeur :



est un vecteur unitaire orienté de A vers B. (faire un schéma)
Dans le référentiel géocentrique, étudions le mouvement du centre d’inertie G d’un satellite de la terre, animé d’un mouvement circulaire de rayon constant R. Nous admettrons que la trajectoire est dans un plan contenant le centre O de la terre.


satellite





plan équatorial terrestre


On note MT la masse et RT le rayon de la Terre, mS la masse du satellite et R est la distance séparant leur centre d’inertie. La seule force s’exerçant sur le satellite est la force de gravitation universelle ; c’est une force centripète.
Appliquons, dans le référentiel géocentrique, la deuxième loi de Newton () au centre d'inertie du satellite, on obtient :

L’accélération du centre d'inertie du satellite est radiale, centripète et indépendante de la masse du satellite. Dans le repère de Frenet, s’identifie à et on peut réécrire l’équation précédente :

Cette relation est analogue à celle obtenue lors de l'étude d'un mouvement circulaire uniforme :



On en déduit :

et

Conclusion

Dans le référentiel géocentrique, le mouvement du centre d’inertie d’un satellite est circulaire uniforme. Sa vitesse dépend de son altitude, elle est indépendante de la masse.

Expression de la période de révolution T.
La période de révolution T est la durée nécessaire au satellite pour parcourir son orbite (faire un tour). La longueur du périmètre d’une orbite circulaire est L = 2..R.

On distinguera la période de révolution d’une planète de sa période de rotation propre.
En mettant au carré les deux membres de l’équation précédente, on a : .

On retrouve la troisième loi de Kepler

Satellite géostationnaire
Qu’est ce qu’un satellite géostationnaire ?

Calculer R et en déduire h.

Données

G= 6,67.10-11 SI, MT = 5,98.1024 kg, T= 1 jour = 86400s


2.5/ Généralisation
Les résultats précédents s’étendent aux planètes du système solaire, dans ce cas le référentiel d’étude est le référentiel héliocentrique. Dans les équations MT est remplacée par MS la masse du soleil.
et R étant le rayon de l’orbite.
2.6/ Notion d’impesanteur
L’impesanteur est un état dans lequel les objets semble ne plus être soumis a la pesanteur. Prenons l’exemple d’un cosmonaute dans satellite. Son centre d’inertie possède la même accélération que le vaisseau spatial soit :

Le cosmonaute semble ne pas ressentir la pesanteur car il a le même mouvement que le vaisseau. En réalité son mouvement est du à la pesanteur de la terrestre !
La notion d’impesanteur est donc relative !

Référentiels héliocentrique et géocentrique



vers une étoile lointaine 





N

N


S

référentiel héliocentrique


S


vers une étoile lointaine 



N

vers une étoile lointaine 



S

référentiel géocentrique


Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil. Les axes d’un repère sont dirigés vers trois étoiles lointaines (c'est à dire pratiquement fixes).
Le référentiel géocentrique est animé d'un mouvement de translation curviligne par rapport au référentiel héliocentrique. Les axes d’un repère sont dirigés vers trois étoiles lointaines.


Les Lois de Képler
Première loi  (loi des trajectoires) dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le soleil est l'un des foyers.


2b


F1

F2

r1 + r2 = 2a

2a


r 2

r 1

Deuxième loi (loi des aires) le segment de droite reliant le soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales.


Les planètes se déplacent plus rapidement lorsqu'elles sont proches du soleil et plus lentement lorsqu'elles en sont plus éloignées


Soleil


Troisième loi (loi des périodes) pour toute planète du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi grand axe est le même :



C est appelée constante de la loi des aires. Elle ne dépend pas de la planète considérée.
Remarque : dans le référentiel héliocentrique les centres de la plupart des planètes du système solaire ont une trajectoire quasi circulaire( F1 et F2 sont très proches). D’après la deuxième loi de Képler leur mouvement est alors uniforme.

Repère de frenet


trajectoire

cercle osculateur






R









Sens de parcours de la trajectoire


s = OG est l’abscisse curviligne c’est-à-dire la distance orientée parcourue par G sur sa trajectoire.

Il est alors commode de définir le repère de Frenet (G, , ), c’est un repère mobile lié au mouvement du point G.
La courbe décrite par un point est appelée trajectoire de ce point dans le référentiel d’étude.

On montre mathématique que et
est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire. est le vecteur unitaire normal à la trajectoire et R le rayon de courbure de cette trajectoire au point considéré.
 les composantes de la vitesse dans le repère de Frenet =

 les composantes de l’accélération dans ce repère = =



Bac David – Physique chimie

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