Schéma de Bernoulli et loi binomiale





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Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Semaine du 09/02/15

Situation 1 :

On lance une pièce de monnaie trois fois.

Donner la liste de tous les résultats possibles. Par exemple PPF est un résultat.


Combien y en a-t-il ?

Combien y a-t-il de résultats(ou liste) comportant la face pile deux fois exactement ?

A la calculatrice, saisir :

3 MATH PRB Combinaison(ou nCr) 2 enter

Qu’obtient-on ?
Situation 2 :

On lance une pièce de monnaie quatre fois.(Voir annexe).

Combien y a-t-il de résultats comportant la face pile deux fois exactement ?


A la calculatrice saisir :

4 MATH PRB Combinaison(ou nCr) 2 enter

Qu’obtient –on ?

Situation 3 :

On lance une pièce de monnaie 5 fois.

Ecrire une séquence de touche à la calculatrice permettant d’obtenir le nombre de résultats comportant la face pile 3 fois exactement.

Donner le résultat.

Situation 4 :

Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé bien équilibré quatre fois de suite.

On appellera succès l’évènement : «obtenir un 6 ».

1) Quelle est la probabilité d’un succès ?

Quelle est la probabilité d’un échec ?

Combien y a-t-il de résultats comportant 3 succès.(à la calculatrice).
2) On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de succès.

Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?

On écrit X

 


3) On désire calculer P(X=3).

a) Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe.

b) Repérer sur l’arbre à l’aide d’une couleur, un chemin comportant trois succès exactement.

Quel est la probabilité de ce chemin sélectionné ?

c) Compter sur l’arbre, le nombre de chemins comportant 3 succès excatement? Vérifier qu’on obtient le même résultat qu’à la question 1.

d) De quel évènement le résultat du calcul est-il la probabilité ?

4) En s’inspirant de la question 3 calculer P(X=2) puis P(X=1).

Situation 5 :

On lance une pièce de monnaie 5 fois.

Cette pièce n’est pas équilibrée si bien que la probabilité d’avoir pile est égale à 0,4.

On appellera succès : « avoir pile ».

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de pile au cours de ces 5 lancers.

On désire calculer P(X=3).

● Combien y a-t-il de résultats comportant 3 succès exactement ?

● Quelle est la probabilité d’un résultat comportant 3 succès exactement ?

● En déduire :
P(X=3) = = à 10-3 près.

Définition :

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n et p lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées.

● On répète n fois la même expérience de façon indépendante.

● X compte le nombre de succès.

● La probabilité d’un succès est p.
On écriera alors : X


Situation 6 :

Une urne contient 18 boules rouges et 12 boules noires indiscernables au toucher.

Un jeu consiste à tirer avec remise 3 boules de l’urne.

Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de boules noires à la fin de ces trois tirages.


  1. X suit-elle une loi binomiale ? Pourquoi ?

  2. Réaliser un arbre de probabilité schématisant ce jeu.

  3. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule noire.


Annexe

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