Exercice 1





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date de publication09.01.2019
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T S Loi de probabilités
Exercice 1 :

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 5 rouges, 3 jaunes et 2 vertes.

On tire au hasard, les unes après les autres 3 boules de cette urne.

Les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles.

  1. Soit l’univers associé à cette expérience. Déterminer le cardinal de .

  2. Soit les événements suivants :

A : « les trois boules sont rouges »

B : « les trois boules sont de la même couleur »

C : « les trois boules sont chacune de couleur différente »

  1. Calculer P(A) et P(B).

  2. Démontrer que P(C) = .

  1. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer son espérance.
Exercice 2 :

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.

Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur les deux thèmes «Cinéma» ou «Musique».

Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le thème «Cinéma», les autres portant sur le thème «Musique».

Le candidat à ce jeu s’appelle Pierre.

PARTIE A :

Dans cette partie, on pose à Pierre une question choisie au hasard dans la boîte et on sait que :

  • La probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème «Cinéma» est égale à .

  • La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème «Musique» est égale à .

On considère les événements suivants :

C : la question porte sur le thème « Cinéma »,

M: la question porte sur le thème « Musique »,

E : Pierre répond correctement à la question posée.

1. Déterminer la probabilité de l’événement :

« La question porte sur le thème « Musique » et Pierre y a répondu correctement ».

2. Montrer que la probabilité de l’événement E est égale à .

3. On suppose que Pierre n’a pas répondu correctement à la question posée ; quelle est la probabilité pour que la question ait porté sur le thème « Cinéma » ?

Certaines de ces réponses pourront être justifiées à l’aide d’un arbre de probabilités.
PARTIE B :

En fait le jeu se déroule de la façon suivante :

On pose à Pierre une première question (selon les modalités décrites dans la première partie) et il marque 5 points s’il répond correctement et le jeu s’arrête.

  • Sinon, on lui pose une deuxième question choisie, indépendamment de la première et il marque 2 points s’il répond correctement et le jeu s’arrête.

Sinon, on lui pose une troisième question (choisie indépendamment des deux précédentes) et il marque 1 point s’il répond correctement.

Sinon le jeu s’arrête et il ne marque aucun point.

À chaque fois qu’une question est tirée, on remet dans la boîte une question portant sur le même thème.

1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

2. Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre.

3. Calculer l’espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre.

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