Simulation d’échantillons exponentiels et gaussiens





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Département de Mathématiques

Option de Statistique

UNSA-MP2,MI2

TP n° 12

Simulation d’échantillons

exponentiels et gaussiens


2003-2004, 2ème semestre


L’objet de ce TD est d’apprendre à simuler un échantillon de valeurs d’une v.a. exponentielle et ainsi, qu’un échantillon de valeurs d’une v.a. gaussiennne, c’est-à-dire réaliser le tirage d’une suite de nombres aléatoires suivant une loi exponentielle E() et d’une suite de nombres aléatoires suivant une loi normale centrée-réduite N(0,1). Vous réaliserez ainsi trois graphiques qu’on vous demande d’imprimer à la fin de la séance sur une feuille portant votre nom.

I. Simulation d’un échantillon de loi exponentielle :

Rappelons qu’une v.a. suit une loi exponentielle E() si elle a pour densité la fonction f(x)=exp(-x) pour x>0 et 0 pour x<=0. Sa fonction de répartition F(x)=P(X<=x), qui n’est rien d’autre que la primitive de f(x), est une fonction strictement croissante (de 0 à 1) qui est donc inversible et son inverse se calcule facilement : F (y)=-log(1-y)/.

Pour simuler un échantillon de loi exponentielle, on applique une méthode générale qui, en principe, permet de simuler n’importe quel échantillon pourvu de connaître l’inverse de la fonction de répartition de la loi du vecteur. Elle s’appuie sur la remarque suivante : si X est une v.a. de fonction de répartition F, alors la v.a. Y définie par Y :=F(X) suit une loi uniforme sur [0,1]. En effet (pour 0
P(Y<=y)=P(F(X)
Donc pour simuler 1000 tirages aléatoires d’un échantillon exponentiel, il suffit de simuler 1000 tirages aléatoires d’un échantillon uniforme puis de calculer les images de ces 1000 valeurs par l’inverse de la fonction F.


  1. Ouvrir un classeur Excel qu’on nommera Simulations.xls. Dans les cellules A1 et B1 donner les titres de colonnes « uniforme », et « exponentielle ». Dans les cellules A2 à A1001 réaliser un échantillon de loi uniforme puis dans les cellules B2 à B1001 un échantillon de loi exponentielle en choisissant pour valeur du paramètre =2.




  1. Pour réaliser l’histogramme des valeurs simulées, procéder comme nous l’avons déjà fait pour le Khi 2 : insérer une ligne dans laquelle vous saisirez les nombres 0 ; 0,2 ; 0,4 ; … ; 2,4

de la cellule B1 à la cellule N1. En C2, calculer la densité exponentielle théorique moyenne en calculant F(C1)-F(B1) pour la fonction de répartition F(x)=1-exp(x) de la loi exponentielle. Recopier sur toute la ligne (attention à la position des $). En C3, écrire une formule valant 1 si B1

  1. A l’aide de l’assistant graphique, tracer sur un même graphique un histogramme de la simulation (plage C1003 : N1003) et une courbe de la loi exponentielle théorique (plage C2 : N2) avec comme étiquette des abscisses la plage C1 : N1).




  1. Vérifier avec la touche F9 que vous pouvez ainsi simuler plusieurs échantillons et tracer leur histogramme. En choisir un pour l’impression.


II. Simulation d’un échantillon gaussien (centré réduit) :

Si on voulait appliquer la méthode précédente pour simuler une v.a. de loi N(0,1), il faudrait calculer l’inverse de la fonction de répartition F(x) d’une loi gaussienne, c’est-à-dire l’inverse de la primitive de la fonction exp(-x*x/2)/racine(2). Or cette primitive ne peut pas être calculée explicitement et même si l’on peut la calculer de façon approchée, cela ne permet pas d’en calculer l’inverse. Il convient donc de trouver une autre méthode pour simuler un échantillon gaussien. Cette méthode consiste en fait à en simuler deux à la fois. En effet, si (X,Y) sont deux v.a. indépendantes de loi N(0,1), les coordonnées polaires du vecteur (X,Y), c’est-à-dire , avec =R*R=(X*X+Y*Y), et arctg(Y/X) sont des v.a. respectivement de loi exponentielle (avec =1/2) et de loi uniforme sur [0,2*]. Donc pour simuler un couple de deux v.a. gaussiennes, on commence par simuler deux v.a. uniformes sur [0,1], notées U et V puis, à partir de U on simule une variable aléatoire exponentielle en posant R=racine(-2*ln(1-U)), et à partir de V on simule une variable aléatoire uniforme sur [0,2] en posant=2V. On peut alors en déduire X et Y en posant simplement X=Rcos() et Y=Rsin().

1. Sur une nouvelle feuille simuler au moyen de la fonction ALEA(), dans les colonnes A et B respectivement, 1000 nombres aléatoires répartis uniformément entre 0 et 1 : cela nous fournit 1000 réalisations aléatoires des v.a. U et V. Dans les colonnes C à F, calculer, au moyen des formules ci-dessus, 1000 réalisations des v. a. R, , X et Y. Vérifier que la touche F9 vous permet de faire apparaître de nouvelles simulations.
2. Réaliser un histogramme des valeurs simulées a la fois pour X et pour Y comme ci-dessus.
3. A l’aide de l’assistant graphique, tracer sur un même graphique ces 2 histogrammes ainsi que la courbe de la loi gaussienne théorique.
III. Simulation d’un échantillon gaussien quelconque:
Reproduire l’expérience précédente pour simuler cette fois un échantillon gaussien d’espérance m=12 et d’écart type s=3.

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