Soit et deux vecteurs de l’espace et A, b et c trois points de l’espace tels que : =





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date de publication20.12.2019
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PRODUIT SCALAIRE DANS L ’ ESPACE

RAPPELS
On rappelle les principaux résultats sur le produit scalaire vus en classe de première.
 Si les vecteurs sont colinéaires :

 de même sens :  ;  de sens contraires : .

 A l’aide de projections orthogonales (pour des vecteurs non nuls) :

est le projeté orthogonal de sur  ;

où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
 Avec des longueurs, des angles (pour des vecteurs non nuls) :

 ;  ;
 ; .


 Dans un repère orthonormal, xx’ + yy’ avec .
 Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, 0.

En particulier, le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
 Quels que soient les vecteurs et quel que soit le réel k,

.


Théorème de la médiane


.
Relations métriques dans le triangle


a2 = b2 + c2 – 2bccosA (relation d’Al-Kashi) ; S = bcsinA (formule de l’aire) ;

(loi des sinus).

 Droite D passant par A et de vecteur normal  : M D  = 0.

Equation de D avec A(x0, y0) et (a, b) : a(x - x0) + b(y - y0) = 0.

Equation ax + by + c = 0 (a ou b non nul) droite de vecteur normal (a, b).

Distance d’un point M(x0, y0) à une droite D d’équation ax + by + c = 0 :

d(M, D ) = .

 Equation de cercle connaissant son centre et son rayon, ou bien un diamètre [AB].
PRODUIT SCALAIRE DANS L ’ ESPACE

I. Définition : Soit et deux vecteurs de l’espace et A, B et C trois points de l’espace

tels que : = et = .

Il existe au moins un plan P contenant les points A, B et C (P est unique si

les points A, B et C ne sont pas alignés).

Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté et égal au

produit scalaire calculé dans le plan P .
Remarque : Cette définition est indépendante du choix des représentants des vecteurs et (c’est-à-dire des points A, B et C) et du choix du plan P .

En effet, dans P , .

Si l’on choisit trois autres points A’, B’ et C’ tels que : et , alors, dans un plan P ’ contenant A’, B’ et C’, on a :

.
Exemples : ABCDEFGH est un cube d’arête a


Exercice : SABCD est une pyramide à base carrée de sommet S dont toutes les arêtes ont la même longueur a. Calculer en fonction de a les produits scalaires suivants :

a)  ; b)  ; c)  ; d) .
II. Expressions et propriétés du produit scalaire
A. Expressions du produit scalaire dans l’espace

sont deux vecteurs non nuls.



et H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

.Dans un repère orthonormal de l’espace, si

ont respectivement pour coordonnées (x, y, z) et (x’, y’, z’) alors :

= xx’ + yy’ + zz’.

On obtient l’expression analytique du produit scalaire dans l’espace.



Démonstration

Les deux premières expressions du produit scalaire découlent directement de la définition du produit scalaire dans le plan.

D’autre part, O désignant l’origine du repère, et M et N les points de l’espace tels que :

et , alors = .

Sachant que OM2 = x2 + y2 + z2, ON2 = x’2 + y’2 + z’2, et MN2 = (x’ - x)2 +(y’ – y)2 +(z’ – z)2, on obtient l’expression demandée.
Exercice : Utiliser différentes expressions du produit scalaire

ABCDEFGH est un cube de centre O et d’arête a. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :

a)  ; b)  ; c)  .
B. Propriétés du produit scalaire

Quels que soient les vecteurs , et , et quel que soit le réel k,

, et .
Démonstration

Les deux premières propriétés découlent de la définition et des propriétés du produit scalaire dans le plan car elle ne mettent en jeu que deux vecteurs, donc des vecteurs coplanaires.

Pour démontrer la dernière égalité on se sert de l’expression analytique du produit scalaire dans l’espace.
III. Orthogonalité dans l’espace
A. Droites orthogonales
Définition : Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles menées

par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires.

Définition : Deux vecteurs et sont orthogonaux lorsque :

= ou =  ;

 ou lorsque les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires, si =

et = sont deux vecteurs non nuls.

Propriété :  Deux vecteurs et sont orthogonaux si, et seulement si,

= 0.

 Deux droites D et D ’ de vecteurs directeurs et sont orthogonales

si, et seulement si, = 0.
La démonstration est immédiate.

B. Droites et plans perpendiculaires
Propriété : Une droite D de vecteur directeur et un plan P sont perpendiculaires

il existe deux vecteurs et non colinéaires de P tels que :

= = 0.

Démonstration

On rappelle qu’une droite D et un plan P sont perpendiculaires lorsque la droite D est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan. D’où l’énoncé de cette propriété.
Remarque : Si est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P alors il est orthogonal à tout vecteur de P .
Définitions : 1) Soit D une droite de l’espace.

La projection orthogonale sur la droite D est l’application qui

associe à tout point M de l’espace le point M’ intersection de la droite

D et du plan P perpendiculaire à D et passant par M.

M’ est appelé le projeté orthogonal de M sur D .

2) Soit P un plan.

La projection orthogonale sur le plan P est l’application qui

associe à tout point M de l’espace le point M’ intersection du plan

P et de la droite D perpendiculaire à P et passant par M.

M’ est appelé le projeté orthogonal de M sur P .

Exercice :  est une droite contenue dans un plan P . Un point A extérieur à P se projette orthogonalement en B sur P et B se projette orthogonalement en C sur .

Démontrer que les droites (AC) et  sont orthogonales.
C. Vecteur normal à un plan, plans perpendiculaires
Définition : Un vecteur non nul est normal à un plan P lorsque toute droite de

vecteur directeur est perpendiculaire à P .
Exercice : ABCDEFGH est un cube.

Démontrer que est un vecteur normal au plan (BDE).
Propriété : Soit A un point et un vecteur de l’espace .

L’ensemble des points M de l’espace tels que : = 0 est le plan

contenant A et admettant comme vecteur normal.
Démonstration

Soit D la droite passant par A et de vecteur directeur .

Et soit P le plan perpendiculaire à D et contenant A. On note et deux vecteurs non colinéaires de P. Donc .

Si M est un point de P alors est un vecteur de P donc

Réciproquement, si M est un point de l’espace tel que , étant une base de l’espace, se décompose de manière unique sous la forme : où x, y et z désignent des nombres réels. Alors,

.

Comme n’est pas le vecteur nul, z = 0 et M est un point de P car .
Définition : P et P’ sont deux plans de vecteurs normaux respectifs et .

P et P’ sont perpendiculaires lorsque et sont orthogonaux.

Exercice : A et B sont deux points distincts de l’espace.

Déterminer l’ensemble des points M tels que
IV. Applications du produit scalaire
A. Equation cartésienne d’un plan
Propriété : Dans un repère orthonormal,

1) un plan de vecteur normal (a, b, c) a une équation de la forme

ax + by + cz + d = 0 où d est un réel.

2) réciproquement, a, b, c, d étant quatre réels donnés, avec a, b, c non

tous nuls, l’ensemble des points M(x, y, z) tels que

ax + by + cz + d = 0

est un plan de vecteur normal (a, b, c).

Démonstration

1) On sait qu’un point M de l’espace appartient au plan P passant par A(xA, yA, zA) et de vecteur normal (a, b, c) si, et seulement si, .

En développant ce produit scalaire et en posant d = la somme des termes constants, on obtient la forme requise.

2) Réciproquement, on note P l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient ax + by + cz + d = 0, a, b et c n’étant pas simultanément nul. On considère alors le vecteur de coordonnées (a, b, c) et, supposant a non nul, on considère le point A de l’espace, de coordonnées . Alors A est un point de P et

.

Donc M P . Donc P est le plan passant par A et de vecteur normal (a, b, c).
Exercice : Dans un repère orthonormal, on donne le point A(1 ; -3 ; 2) et le vecteur de coordonnées (-1 ; 1 ; 4). Le plan P passe par A et admet pour vecteur normal.

a) Déterminer une équation cartésienne de P .

b) Le point B de coordonnées (3 ; 1 ; 0) appartient-il au plan P ?
B. Distance d’un point à un plan
Définition : P est un plan et M est un point de l’espace.

La distance du point M au plan P est la distance MH où H est le projeté

orthogonal de M sur P .
Propriété : Si, dans un repère orthonormal, un plan P a pour équation

ax + by + cz + d = 0 (a, b et c non tous nuls) et le point A a pour

coordonnées (xA, yA, zA) alors,

la distance du point A au plan P estégale à .
Démonstration

Soit H le projeté orthogonal du point A sur le plan P . Donc (AH) est perpendiculaire au plan P . On en déduit que est colinéaire à tout vecteur normal à P et en particulier au vecteur de coordonnées (a, b, c) ce qui se traduit par l’existence d’un réel t tel que soit l’espace étant rapporté au repère orthonormal .

On note (xA, yA, zA) et (xH, yH, zH) les coordonnées respectives des points A et H. Sachant que le point H appartient au plan P ses coordonnées vérifient axH + byH + czH + d = 0.

D’autre part,



donc, en remplaçant xH, yH, zH par leurs expressions respectives en fonction de xA, yA, zA et t, a, b, c on obtient : t(a2 + b2 + c2) = -( axA + byA + czA + d) d’où l’expression de t en fonction de xA, yA, zA et a, b, c.

La distance du point A au plan P est égale à AH soit à . D’où

.
Exercice : L’espace est muni d’un repère orthonormal.

a) Calculer la distance du point A(1 ; -1 ; 2) au plan P d’équation x + y – z – 1 = 0.

b) Le point H de coordonnées (2 ; 0 ; 1) est-il le projeté orthogonal du point A sur le plan P ?
C. Demi-espace
Définition : P est le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 dans un repère

orthonormal.

L’ensemble P 1 des points M(x, y, z) tels que :

ax + by + cz + d  0 (resp. ax + by + cz + d > 0) et

l’ensemble P 2 des points M(x, y, z) tels que :

ax + by + cz + d  0 (resp. ax + by + cz + d < 0) sont deux parties de

l’espace qui admettent P comme frontière commune.

Elles sont appelées demi-espaces fermés (resp. ouverts) de frontière P .
Exercice : Dans un repère orthonormal, le plan P a pour équation = 0.

Déterminer une équation du demi-espace fermé de frontière P contenant le point B de coordonnées (-1 ; 2 ; 3).

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