Résumé : L’activité proposée a pour objectif de faire découvrir aux élèves une application concrète de la théorie de la relativité restreinte dans la vie quotidienne, le gps.





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date de publication22.05.2017
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Sciences physiques

COMPRENDRE – Lois et modèles





Table des matières





Présentation de la ressource 1

Fiche professeur 2

1. Conseils de mise en œuvre  2

2. Prérequis  2

3. Objectifs et compétences sollicitées  3

Fiche élève 4

1. Situation déclenchante  4

1. A. Discussion 4

1. B. Pistes d’investigation  5

2. Document 1 5

2. A. Détermination de la position à l’aide d’un GPS 5

2. B. Piste d’investigation  6

2. C. Remarques pour l’enseignant 7

2. D. Compétences travaillées  7

3. Document 2 8

3. A. GPS et corrections relativistes 8

3. B. Pistes d’investigation  9

3. C. Remarque pour l’enseignant 10

3. D. Compétences travaillées  10

4. Document 3 11

4. A. Galileo 11

4. B. Pistes d’investigation  12

4. C. Compétences travaillées  12

Quelques éléments de correction 13


Présentation de la ressource





Thème : TEMPS, MOUVEMENT ET ÉVOLUTION



Type de ressource : Ressource pour la classe de terminale générale et technologique – Physique- Chimie - Série S



Notions et contenus :

Postulat d’Einstein : invariance de la vitesse de la lumière.

Dilatation des durées.



Compétence travaillée ou évaluée :
Savoir extraire, exploiter et organiser de manière autonome des informations utiles à partir

d’un document.
S’interroger de manière critique sur la valeur scientifique des informations.
Savoir réaliser une analyse dimensionnelle.
Savoir rédiger un compte-rendu.



Nature de l’activité : Étude documentaire et investigation



Résumé : L’activité proposée a pour objectif de faire découvrir aux élèves une application concrète de la théorie de la relativité restreinte dans la vie quotidienne, le GPS. Il ne s’agit pas pour les élèves d’extraire et d’exploiter simplement des informations de documents. Les élèves deviennent acteurs dans la construction de leur savoir par l’élaboration d’un exposé à partir de leurs propres connaissances, d’informations issues de ressources diverses.



Mots clefs : GPS. Principe de la triangulation. Signal électromagnétique. Relativité restreinte. Durée propre. Durée mesurée. Projet Galileo.



Académie où a été produite la ressource : Académie de Martinique 

http://cms.ac-martinique.fr/




Fiche professeur




En quoi les travaux d’Einstein nous ont-ils permis de mieux nous positionner sur Terre ?

1. Conseils de mise en œuvre 



- C’est une activité à proposer aux élèves après avoir énoncé le postulat d’invariance de la vitesse de la lumière d’Albert Einstein.

- L’activité peut être utilisée pour faire découvrir aux élèves la relation entre durée propre et durée mesurée montrant qu’il y a dilatation des durées dans un référentiel galiléen en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen fixe.

- Les différents documents (1, 2, 3) sont distribués en début d’activité aux élèves.

- Un accès à Internet et/ou au CDI est nécessaire au cours de l’activité.

2. Prérequis 



- Célérité des ondes électromagnétiques.
- Définition du référentiel galiléen.
- Définition du temps atomique. Principe et application d’une horloge atomique.
- Postulat d’invariance de la vitesse de la lumière d’Albert Einstein.
- Notion de temps propre.

3. Objectifs et compétences sollicitées 






OBJECTIFS



Objectifs spécifiques



Découvrir une application de la relativité restreinte dans la vie quotidienne, par l’exploitation d’informations.
Découvrir les apports de la relativité restreinte dans le fonctionnement du GPS.



Objectifs transversaux


Réaliser une analyse dimensionnelle.
Appliquer une formule mathématique en utilisant les unités du SI.
Découvrir le fonctionnement du GPS.
Découvrir les enjeux politiques et économiques du système de positionnement européen Galileo.
Enrichir sa culture scientifique


COMPETENCES

ATTENDUES




Connaissances



Savoir que le temps se dilate dans un référentiel galiléen en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen fixe.



Capacités disciplinaires




Extraire et exploiter des informations relatives à une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte.



Capacités transversales




Rechercher, extraire et organiser l’information utile.
Mettre en œuvre un raisonnement.
Formuler des hypothèses pertinentes.
Maîtriser les compétences mathématiques de base.
Exercer son esprit critique
Présenter les résultats obtenus. Communiquer à l’écrit.



Fiche élève



En quoi les travaux d’Einstein nous ont-ils permis de mieux nous positionner sur Terre ?

1. Situation déclenchante 




1. A. Discussion






Ayant beaucoup voyagé jeune, Julien décide de se rendre sur les traces du passé pendant ses vacances d’été. Pour ce faire, il envisage de partir de Paris et de se diriger vers Athènes en passant par Strasbourg, Constance, Belgrade, Sofia, et Istanbul.
Pour des raisons budgétaires, il convient avec son grand-père de louer un camping-car.
Son grand-père lui rappelle la nécessité d’acheter une carte routière récente de l’Europe.
Julien amusé, s’exclame : « Grand-père, nous sommes au 21e siècle, un GPS fera l’affaire ! »
« Un quoi ? » rétorqua vivement son grand-père.
« Ne te vexe pas grand-père, je vais tout de dire sur le GPS » dit Julien avec un large sourire.
« Oh ! j’ai eu seulement un petit trou de mémoire, j’en ai entendu parler récemment au journal télévisé à propos d’un reportage sur le projet Galileo » dit le grand-père.
« Assieds-toi grand-père, je vais tout te dire sur le GPS ! » dit le petit-fils.



Reconstituer l’exposé de Julien à son grand-père en multipliant les sources d’information (documents proposés, Internet, ouvrages au CDI, etc.) et en vous basant sur les pistes proposées.

1. B. Pistes d’investigation 




- Que signifie le sigle GPS ?
- Qui a inventé le GPS ? Dans quel but ?
- Comment fonctionne un GPS ?
- Comment permet-il un repérage fiable de la position de l’utilisateur ?
- Pourquoi dit-on : « Sans Einstein, pas de GPS » ?
- En quoi consiste le projet « Galileo » ?

2. Document 1




2. A. Détermination de la position à l’aide d’un GPS






Le système de positionnement GPS est fondé sur une vingtaine de satellites situés sur une orbite à 20183 km d’altitude, car il est nécessaire qu’au moins quatre satellites soient toujours « visibles » depuis n’importe quel point du globe.
Ces satellites, qui connaissent la position exacte, émettent des signaux électromagnétiques captés par le récepteur GPS qui fournit une mesure précise de la position sur Terre de l’utilisateur du GPS.
Lorsqu’un utilisateur souhaite se repérer, son récepteur GPS reçoit un signal émis par chaque satellite.

Le récepteur mesure la durée que met le signal électromagnétique émis par chaque satellite pour se propager (à la célérité c = 3000000 km/h) jusqu’à lui afin de calculer la distance qui sépare le satellite de l’utilisateur.
Une bonne localisation du GPS repose sur une mesure ultra précise des durées de propagation du signal entre le GPS et les satellites. De ce fait, les satellites GPS qui sont actuellement envoyés dans l’espace possèdent des horloges atomiques qui sont, aujourd’hui, les horloges les plus précises du monde.

Si les horloges des satellites et l’horloge du GPS de l’utilisateur sont parfaitement synchronisées, la précision du positionnement est meilleure.
En théorie, l’information de trois satellites suffit à la détermination des coordonnées (latitude, longitude et altitude) du point de localisation sur Terre de l’utilisateur : c’est le principe de la triangulation.


2. B. Piste d’investigation 



Mettre en pratique l’exemple suivant que Julien a utilisé pour expliquer à son grand-père comment le GPS utilise le principe de la triangulation pour le repérage terrestre.
Julien suppose qu’en partant de Paris pour se diriger vers Strasbourg, ils emprunteront un itinéraire par l’autoroute qui les fera passer par les villes de Reims et de Metz. Après s’être trompés de bretelle d’autoroute, ils se retrouvent sur un mauvais chemin et utilisent alors leur GPS.
En supposant que trois satellites émetteurs E1, E2, E3 sont positionnés respectivement au-dessus de la ville de Châlons-en-Champagne, de la ville de Troyes, et de la ville de Nancy, quelle indication le GPS leur a-t-il donné ?

Données :


  • Les trois émetteurs envoient simultanément à la date t0 un signal électromagnétique vers le récepteur R (GPS) de Julien.

Le récepteur R reçoit le signal émis par E1 à la date t1, celui émis par E2 à la date t2, et celui émis par E3 à la date t3.

Les mesures entre les durées d’émission et de réception des signaux ont donné :
t1 – t0 = 185,6 µs ; t2 – t0 = 250,0 µs ; t3 – t0 = 303,8 µs


  • Les horloges des émetteurs et du récepteur sont parfaitement synchronisés.




  • La vitesse du signal électromagnétique est c = 300000 km/s.




  • Partie de la carte de la France :






2. C. Remarques pour l’enseignant



Les valeurs t1 – t0, t2 – t0, et t3 – t0 permettent de calculer les distances qui séparent R de E1, R de E2, R de E3.

L’intersection des trois cercles de centre E1 et de rayon RE1 ; de centre E2 et de rayon RE2 ; de centre E3 et de rayon RE3, correspond à la position du récepteur R.

2. D. Compétences travaillées 





Démarche scientifique

Validée/ Non validée

Mettre en œuvre un raisonnement




Rechercher, extraire et organiser l’information utile




Formuler des hypothèses pertinentes




Maîtriser les compétences mathématiques de base






Usage des TIC

Validée/ Non validée

Mener une recherche documentaire







Extraire

Validée/ Non validée

Support d’information : texte de vulgarisation





3. Document 2




3. A. GPS et corrections relativistes






En 1905, Albert Einstein établit la théorie de la relativité restreinte, (qui ne concerne que les mouvements à vitesse constante) en postulant l’invariance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels galiléens.

L’une des conséquences perceptibles de cette théorie est la dilatation du temps c’est-à-dire le ralentissement des horloges en mouvement à une vitesse proche de celle de la lumière par rapport à un référentiel galiléen fixe.
Les motivations « d’unification » des phénomènes physiques ont conduit Einstein à étendre la relativité restreinte à la gravitation. Pour cela, il a développé sa théorie de la relativité en l’appliquant aux mouvements accélérés (relativité générale en 1915).
Source : http://www.palais-decouverte.fr/


http://photos.aip.org/history/thumbnails/einstein_albert_a13.jpg
Albert Einstein (1879 - 1955), prix Nobel de physique 1921.

© AIP Emilio Segre Visual Archive

À la vitesse des satellites (13946,4 km/h), la relativité restreinte démontre les horloges embarquées battent moins vite que sur Terre.
En revanche, la relativité générale explique que ces horloges battent plus vite à cause du champ de gravitation terrestre plus faible à l’altitude des satellites qu’au niveau du sol : les horloges des satellites prennent une avance de 45,7 s par jour par rapport à l’horloge du GPS de l’utilisateur terrestre.
La précision des durées de propagation des signaux électromagnétiques entre le GPS et les satellites repose sur les corrections relativistes introduites dans la lecture de l’heure.
Sans ces corrections, l’estimation de la durée de propagation du signal électromagnétique serait erronée (erreur de 38,7 s par jour) et une localisation précise serait impossible. 




3. B. Pistes d’investigation 



- La théorie de la relativité restreinte montre le temps propre s’écoule plus lentement dans le satellite en mouvement que sur Terre.

L’horloge des satellites affichent une durée Δt’ inférieure à la durée Δt mesurée par l’horloge du récepteur GPS de l’utilisateur terrestre.
Plusieurs formules donnant la relation entre les durées Δt et Δt’ sont proposées. Utiliser l’analyse dimensionnelle pour retenir la relation correcte.
Δt = (1) Δt = (2) Δt = (3)
avec v : vitesse du satellite

et c : célérité de la lumière dans le vide (c = 3,00.108 m.s-1)

- Sans les corrections relativistes, l’écart temporel entre les horloges des satellites et celle du GPS serait de 38,7 s par jour.

Utiliser la relation retenue précédemment pour retrouver cette valeur.

- Si les effets relativistes n’étaient pas pris en compte, quelle erreur serait faite sur la position de l’utilisateur au bout d’une minute ? Conclure.

3. C. Remarque pour l’enseignant



Pour montrer que sans les corrections relativistes l’écart temporel entre les horloges des satellites et celle du GPS serait de 38,7 s par jour, il est nécessaire d’exprimer le temps Δt’ qui s’écoule dans le satellite pendant qu’il s’écoule 1 jour sur Terre avec 11 chiffres significatifs. Ceci dans le but de déterminer le retard des horloges embarquées dans les satellites en microsecondes.

3. D. Compétences travaillées 





Démarche scientifique

Validée/ Non validée

Mettre en œuvre un raisonnement







Extraire

Validée/ Non validée

Support d’information : textes scientifiques







Exploiter

Validée/ Non validée

Traitement mathématique des équations




Analyse dimensionnelle




Analyse critique d’un résultat







Expression et acceptabilité du résultat.

Validée/ Non validée

Maîtriser l’usage des chiffres significatifs et l’écriture scientifique.




4. Document 3




4. A. Galileo






Les Etats-Unis n'ont pas ménagé les pressions sur leurs alliés européens pour obtenir le retrait du projet de navigation par satellite Galileo, qui s'attaque au monopole de leur propre système, le GPS.

Ces pressions ont été dénoncées en décembre 2001 par la commissaire européenne aux Transports, Loyola de Palacio.



http://saintger.blogencommun.fr/wp-content/uploads/logo-galileo.png



Les Etats-Unis n'ont pas ménagé les pressions sur leurs alliés européens pour obtenir le retrait du projet de navigation par satellite Galileo, qui s'attaque au monopole de leur propre système, le GPS.

Ces pressions ont été dénoncées en décembre 2001 par la commissaire européenne aux Transports, Loyola de Palacio.

Argument choc des Américains : leur GPS est suffisamment puissant pour couvrir les besoins mondiaux, gratuitement qui plus est. Réponse des partisans de l'indépendance de l'UE en la matière : le GPS gratuit n'offre aucune garantie de continuité et peut être brouillé à tout moment par les Américains pour des raisons d'ordre militaire, comme cela s'est produit pendant la guerre du Golfe.

Alors que la Commission européenne tentait une fois de plus d'arracher le feu vert des Quinze, le numéro 2 de la Défense aux Etats-Unis, Paul Wolfowitz, avait écrit à plusieurs ministres européens de la Défense pour mettre en avant un nouvel argument : Galileo va utiliser, pour son signal le plus performant, une fréquence voisine de celle du prochain GPS américain.

Si, par exemple, une puissance ennemie utilisait le signal de Galileo pour guider des attaques contre les Etats-Unis ou un de leurs alliés, il serait impossible de brouiller ce signal, sans en même temps perturber les fréquences du GPS américain, s'alarmait M. Wolfowitz.

Inexact, a répliqué la Commission européenne, en estimant tout à fait possible de résoudre techniquement le problème de proximité des fréquences.
 

De plus, la Commission a affirmé être prête à négocier avec les Etats-Unis sur les conditions d'un arrêt éventuel du signal de Galileo en cas d'utilisation par une puissance ennemie.

En réalité, affirme-t-on à Bruxelles, les Américains ont surtout essayé de faire capoter le projet en raison de ses implications stratégiques et commerciales.




BRUXELLES, Mars 2002 (AFP)
Source : www.universcience.fr/
Depuis 2004, les Etats-Unis participent au projet Galileo en permettant l’interopérabilité technique de Galileo avec le GPS.





4. B. Pistes d’investigation 



- Pourquoi l’Europe souhaite-t-il mettre au point son propre système de positionnement ?
- Quels sont les enjeux stratégiques, commerciaux et économiques du projet Galileo ?
- Quels sont les avantages de la compatibilité entre Galileo et le GPS ?
- Quelles applications offrent Galileo par rapport au GPS ?

4. C. Compétences travaillées 




Démarche scientifique

Validée/ Non validée

Mobiliser ses connaissances




Rechercher, extraire et organiser l’information utile







Usage des TIC

Validée/ Non validée

Mener une recherche documentaire







Extraire

Validée/ Non validée

Support d’information : texte de vulgarisation




S’interroger de manière critique sur la pertinence de la prise en compte des informations





Quelques éléments de correction




Exploitation du document 1
Pour bien comprendre le principe de triangulation, on met en pratique l’exemple proposé par Julien :
Calculer des trois distances RE1 ; RE2 et RE3.
RE1 = c (t1 – t0)

RE1 = (300000 185,6.10-6) km = 55,70 km
En utilisant l’échelle : 1 cm pour 20,0 km, on trace un cercle de centre E1 et de rayon

2,80 cm.
RE2 = c (t2 – t0)

RE2 = (300000 250,0.10-6) km = 75,00 km
En utilisant l’échelle : 1cm pour 20,00 km, on trace un cercle de centre E2 et de rayon

3,75 cm.
RE3 = c (t3 – t0)

RE3 = (300000 303,8.10-6) km = 91,15 km
En utilisant l’échelle : 1cm pour 20,0 km, on trace un cercle de centre E3 et de rayon 4,50 cm.
On place l’émetteur E1 (Châlons-en-Champagne), à l’origine d’un repère (0, x, y) attaché au référentiel terrestre supposé galiléen.
La distance entre Châlons-en-Champagne et Troyes est de 80,00 km. En utilisant la même échelle, l’émetteur E2 (Troyes) est placé à 4,00 cm de l’émetteur E1 sur l’axe des ordonnées.
La distance entre Châlons-en-Champagne et Nancy est de 136,7 km. En utilisant la même échelle, l’émetteur E3 (Nancy) est placé à 6,80 cm de l’émetteur E1 sur l’axe des abscisses.

.

20,0 km

20,0 km

x

y

.

.

.

E3

E2

E1

R

-1.00

-2.00

-3.00

-4.00

-5.00

9.00

8.00

7.00

6.00

5.00

4.00

3.00

2.00

1.00

0.00

Les trois cerclent se coupent en un point unique qui correspond à la position du récepteur GPS.
L’examen de la carte montre que les villes de Châlons-en-Champagne, de Nancy et de Troyes entourent la ville de Saint-Dizier.
L’utilisation du site http://www.distance2villes.com/ renseigne sur les distances réelles (et non par la route) entre ces villes et Saint-Dizier :


  • Châlons-en-Champagne distante 55,70 km de Saint-Dizier.

  • Troyes distante 75,00 km de Saint-Dizier.

  • Nancy distante 91,15 km de Saint-Dizier.


Ces distances correspondent bien aux distances calculées précédemment, on conclue que le GPS de Julien leur a indiqué qu’ils étaient à Saint-Dizier.


Dans la réalité, les satellites sont dans un espace à trois dimensions. On définit alors des sphères centrées sur les satellites (et non pas des cercles) dont l’intersection donne la position.

Pour déterminer avec précision la distance qui sépare le récepteur GPS des trois satellites émetteurs, il faut mesurer les temps de propagation des signaux électromagnétiques à l’aide d’horloges parfaitement synchronisées qui garantissent une précision atomique. De telles horloges atomiques embarquées à bord des satellites ne peuvent évidemment pas être intégrés aux récepteurs GPS, lesquels possèdent des horloges à quartz.
Pour synchroniser le récepteur GPS avec les satellites on utilise le signal électromagnétique provenant d’un quatrième satellite.
L’information provenant du quatrième satellite permet de synchroniser le l’horloge du récepteur avec les horloges des trois autres satellites en apportant à cette horloge les corrections nécessaires jusqu’à ce que les quatre sphères se coupent en un point unique.


Exploitation du document 2
La théorie de la relativité restreinte montre que l’horloge des satellites affichent une durée Δt’ inférieure à la durée Δt mesurée par l’horloge du récepteur GPS de l’utilisateur terrestre.
Plusieurs formules donnant la relation entre les durées Δt et Δt’ sont proposées.
Une analyse dimensionnelle permet de retenir la relation correcte :
Δt = (1) Δt = (2) Δt = (3)
= = T
Le dénominateur de la relation correcte doit être de dimension 1.

Dans la relation (1), = = T.L-1 car = = L.T-1
donc 1 et 1

La relation (3) n’est pas homogène car au dénominateur, on a car

= = T.L-1

Dans la relation (2), = 1

donc = 1 et = 1

La relation (2) est la relation correcte et on l’utilise pour calculer le temps qui s’écoule dans le satellite pendant qu’il s’écoule 1 jour sur Terre.
Vitesse du satellite : v = 13946,4 km/h = 3874,00 m/s
Δt = 1 jour = 86400,000000 s
Δt’ = 86400,000000 s = 86399,999993 s
On constate que Δt’ < Δt.
La théorie de la relativité restreinte montre que les horloges embarquées dans les satellites retardent par rapport à l’horloge du GPS sur Terre de :
(86400,000000 – 86399,999993) s = 0,00000700000 s par jour.

Un retard des horloges embarquées de 7,00 s par jour, est une valeur infime par rapport aux durées des activités de notre quotidien !

Par contre, la théorie de la relativité générale indique que les horloges des satellites prennent une avance de 45,7 s par jour par rapport à l’horloge du GPS de l’utilisateur terrestre.
Ainsi, sans les corrections relativistes, l’écart temporel entre les horloges des satellites et celle du GPS serait de (45,7 – 7,00) s = 38,7 s par jour.


L’erreur faite sur la position de l’utilisateur par jour serait de 11,0 km !
d = c  = (3,00.108 38,7.10-6) km = 11,0 km
L’erreur faite sur la position de l’utilisateur au bout d’une minute serait de 7,60 m !
1 jour = 14,4.102 min
d = km = 7,60.10-3 km = 7,60 m 

Cette erreur sur le positionnement peut nous paraître sans grande conséquence dans nos activités quotidiennes, mais elle revêt une importance extrême dans le domaine militaire quand il s’agit de localiser précisément une cible à abattre !!!



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