Première s : Accompagnement personnalisé : Quand la physique rencontre les mathématiques : exemple d’une interaction réciproque





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date de publication22.05.2017
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Première S : Accompagnement personnalisé : Quand la physique rencontre les mathématiques : exemple d’une interaction réciproque
On considère souvent que la physique trouve, dans les mathématiques, ce dont elle aurait besoin mais il arrive aussi que l’émergence d’une nouvelle en théorie en physique puisse susciter du côté des mathématiques l’invention de nouveaux formalismes. Henri Poincaré, parfait exemple de physicien mathématicien (ou de mathématicien physicien) écrit justement 1 « La physique ne nous donne pas seulement l’occasion de résoudre des problèmes ; elle nous aide à en trouver les moyens et cela de deux manières. Elle nous fait pressentir la solution, elle nous suggère des raisonnements ».
Le concept d’action à distance proposé par Newton ne s’est pas imposé sans mal. Comment en effet imaginer qu’un corps puisse agir là où il n’est pas ? L’efficacité mathématique des lois qui en étaient issues (loi de la gravitation et loi de Coulomb) ne suffit pas à convaincre Faraday. S’il est difficile d’imaginer que deux corps puissent exercer, l’un sur l’autre, des forces à distance, que dire alors de courants électriques créés à distance ? Pour Faraday, un lien matériel existe nécessairement entre aimant "inducteur" et courant "induit". Quelque chose agit dans l’espace qui les sépare. Faraday, nous dit Maxwell, « voyait par les yeux de son esprit, des lignes traversant tout cet espace où les mathématiciens ne considéraient que des centres de forces agissant à distance; Faraday voyait un milieu où ils ne voyaient rien que la distance; Faraday cherchait le siège des phénomènes dans des actions réelles, se produisant dans ce milieu, tandis qu’ils se contentaient de l’avoir trouvé dans une puissance d’action à distance particulière aux fluides électriques »2.

Entre une formalisation purement mathématique parfois abstraite et une représentation figurative comme ici l’intuition initiale de Faraday appelant "champ" l’objet théorique qu’il est en train d’inventer - parce qu’il le matérialise grâce à de petits brins de limaille qui s’orientent collectivement - le physicien se déplace très souvent à l’intérieur de ces deux extrêmes.


Document 1 : La Lune ou la pomme sont soumis à la gravitation
Au XVIIème siècle, le mot "graviter" signifie peser, "être lourd" ; à cette époque ce sont donc les pommes, les objets terrestres, les hommes qui, par nature, gravitent. Les astres, eux, ne "gravitent" pas et nul, jusque-là, n’a jamais soupçonné qu’ils puissent le faire. […] L’impact de la théorie newtonienne a été tel qu’il a modifié le sens commun du mot "graviter". Il était attaché aux objets terrestres ; nous l’employons maintenant pour des objets célestes et contrairement aux contemporains de Newton qui étaient choqués d’apprendre que la Lune puisse "graviter", c’est d’apprendre qu’une pomme "gravite" elle aussi qui pourrait aujourd’hui nous surprendre.




Document 2 : La loi de gravitation universelle
Entre deux corps de masses respectives m1 et m2, s’exerce une force d’attraction :

  • dirigée suivant la droite qui joint le centre des deux corps,

  • proportionnelle au produit de leur masse,

  • inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

Pour exprimer ces résultats de manière plus concise, on écrit : F = G

Cette expression ne suffit pas pour décrire avec précision l’effet physique de la force de gravitation : pour définir complètement l’action d’une force, il faut encore préciser la direction et le sens dans lequel elle agit, c’est pourquoi on utilise un "vecteur".

On écrit finalement : = - G

en notant le vecteur unitaire porté par la droite reliant le centre de l’objet de masse m1 au centre de l’objet de masse m2

Document 3 : La gravité ou champ de gravitation
En physique, un champ représente une zone d’influence dans l’espace susceptible d’appliquer une force à distance sur un objet. Puisque la force gravitationnelle est justement une force à distance, on peut définir un champ associé à la force gravitationnelle.

Tout objet ayant une masse M produit un champ gravitationnel autour de lui, car l’objet doit interagir gravitationnellement à distance avec des objets de masse m autour de lui. Le champ gravitationnel associé à une masse M est radial, orienté vers la masse M et diminue en fonction du carré de la distance r. Mathématiquement, on utilise un vecteur pour représenter le champ gravitationnel en un point de l’espace.





Document 4 : Sur la Terre ou sur la Lune
La Lune, 81 fois moins massive que la Terre, attirera moins le voyageur de l’espace. En y posant le pied, ce dernier s’y sentira donc plus léger. Il n’y sera pas 81 fois plus léger car l’attraction dépend aussi de la distance du cosmonaute au centre de la planète qui est plus faible sur la Lune que sur la Terre. En tenant compte à la fois de la masse de la lune et de son rayon, l’attraction gravitationnelle à sa surface est environ 6 fois plus faible que sur la Terre. Cela signifie que l’on peut sauter 6 fois plus haut ou 6 fois plus loin, avec le même élan initial ; cela signifie aussi que si, sur Terre, un objet lâché dans le vide tombe de 4,9 mètres pendant sa première seconde de chute, il ne tomberait sur la Lune que de 0,8 mètres (6 fois moins) pendant le même temps.

En ce qui concerne la Lune, une conséquence de sa faible gravité est son absence d’atmosphère : des molécules de gaz étaient autrefois présentes à sa surface, mais, mal retenues par une gravité trop faible, elles se sont échappées vers l’espace Avec elles, toute trace d’eau et espoir de vie, ont désormais quitté le sol lunaire.


Document 5 : Des formules identiques ?

La force de gravitation ne dépend pas du milieu dans lequel elle agit (elle est par exemple la même dans l’air ou dans l’eau), alors que la force électrique = K en dépend (et se trouve 80 fois plus faible dans l’eau que dans l’air). C’est la raison pour laquelle le sel se dissout dans l’eau : le sel de cuisine (chlorure de sodium) est formé d’ions positifs (sodium) et d’ions négatifs (chlorure) entre lesquels s’exerce une force électrique attractive réalisant la cohésion interne du "morceau de sel". Placé dans l’eau, les forces électriques qui assuraient sa cohésion sont 80 fois plus faibles et ne suffisent plus à assurer cette cohésion : les ions se "détachent" les uns des autres. Même sans avoir jamais fait de mathématiques, on ne peut comparer les deux formules sans rêver à une relation cachée entre gravitation et électricité. Qui aurait pensé à se poser la question d’une ressemblance possible entre une pomme qui tombe et une étincelle électrique ?
Les documents numérotés de 1 à 5 ont été établis à l’aide d’extraits de l’ouvrage "Les pommes de Newton" de Jean-Marie Vigoureux (Diderot éditeur, 1998).

Suivant la durée de la séance d’AP (1h, 1h30, 2h), suivant le lieu où se déroule la séance (salle avec accès internet, CDI avec des encyclopédies, ouvrages d’histoire des sciences, …), on pourra supprimer des documents ou des questions ou bien encore poursuivre le travail à la maison pour une restitution ultérieure.

  1. Situer les dates d’établissement des lois de Newton et Coulomb.

  2. En quoi la théorie de Newton, qui indique qu’une pomme ainsi que la Lune "gravitent" autour de la Terre, a choqué ses contemporains ?

  3. Est-ce bien Coulomb qui précise la notion de charge électrique en donnant ainsi son nom à l’unité de charge ?

  4. Quelle (s) différence (s) faites-vous entre la masse m d’un objet et son poids ?

  5. Quelle(s) différence(s) faites-vous entre force de gravitation et champ de gravitation ?

  6. Sur le schéma du document 3, expliquer pourquoi les flèches représentant le champ de gravitation n’ont pas toutes la même taille.

  7. Proposer une expression littérale pour déterminer :

    • la valeur gT du champ de gravitation de la Terre

    • et la valeur gL du champ de gravitation de la Lune.

  1. Après avoir vérifié la validité de ces expressions auprès de votre professeur, déterminer les valeurs respectives de gT et gL . Vérifier que ces valeurs sont en accord avec les valeurs citées dans le document 4.

  2. Malgré la ressemblance d’écriture, établir les importantes différences entre les deux lois.



Données :

Valeur de la constante G : G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2

Valeur de la constante K : K = 9,0.109 N.m2.C-2
Masse de la Terre MT = 5,98.1024 kg Rayon de la Terre RT = 6 370.103 m

Masse de la Lune ML = 7,35.1022 kg Rayon de la Lune RL = 1 738.103 m

Distance moyenne Terre-Lune : 384 402 km

1 Henri Poincaré, La valeur de la science, 1905, p. 13.

2 Maxwell, Introduction au traité d’électricité et de magnétisme, 1873.

Erick Staëlen, Lycée Pierre Corneille, Rouen, GRP 2013.

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