1-addition vectorielle 2-La méthode graphique A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) 3-La méthode analytique





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32-appliquée au mouvement de translation



L'impulsion suivie par le corps est égale à la variation de la quantité de mouvement créée. On la note J.



  • Quand la résultante des forces extérieures est nulle, le vecteur quantité de mouvement total du système demeure constant. C'est ce qui définit le principe de la conservation de la quantité de mouvement.

  • Quand un système est composé de plusieurs parties, la quantité de mouvement créée dans une partie (par les forces internes du système) sera automatiquement compensée par une quantité de mouvement égale en intensité mais opposée à l'autre partie (effet résultant nul).

On différencie deux types de collision :

33-Les collisions élastiques


Lorsque deux corps (animés chacun d'une quantité de mouvement propre) vont se rencontrer, ils vont exercer l'un sur l'autre des forces égales en grandeur mais de sens opposé. Si le temps de collision est très court, on admet que le principe de la conservation de la quantité de mouvement est respecté.

A

mA




mB




B



Etat initial


B

A



Etat final

Cas particuliers :

  • Si mA = mB, lors de la collision, ils ne feront qu'échanger leurs vitesses : .

  • Si les deux masses sont égales et que l'un des corps est au repos, celui qui était en mouvement va être stoppé et celui qui était initialement immobile va repartir avec une vitesse égale à celle de l'objet en mouvement.

  • Si un corps a une masse très supérieure à l'autre, la masse la plus légère rebondit, et repart avec la même vitesse.

34-Collision non élastique





y


1

2

m1 = 70 kg

v1 = 6 km/h

m2 = 50 kg

v2 = 8 km/h


x





35-application au mouvement de rotation




C'est une grandeur vectorielle



l'impulsion angulaire suivie par le corps est égale à la variation de la quantité de mouvement angulaire.

  • Pour augmenter le moment cinétique, on va pouvoir soit augmenter le moment de force, soit le temps d'application de ce moment de force.

  • Pour augmenter le moment de force : soit on augmente le bras de levier, soit on augmente la force elle-même.

  • Pour augmenter le temps d'application, il faut augmenter le moment d'inertie du système.


Lorsque la résultante des moments des forces extérieures agissant sur le système est nulle, le vecteur moment cinétique (quantité de mouvement angulaire) total du système demeure constant. C'est ce qui définit le principe de la conservation du moment cinétique. Seuls les moment des forces extérieures peuvent modifier les moments cinétiques.
Exemple : le plongeur.
Les forces qui entrent en jeu lors des différentes étapes. Il y en a trois :

  • Lorsque le plongeur touche encore le plongeoir (dessin 1) :

  • Mouvement de rotation et mouvement linéaire.

  • Réaction dirigée en arrière du centre de gravité.

  • Poids : . crée une rotation par rapport au point d'appui car il crée un moment de force (déséquilibre).crée aussi un moment de force (mouvement de rotation). Ces deux forces jouent en faveur de la rotation, dans un levier inter-appui).

  • Lors de la phase aérienne (dessin 2, 3 et 4 si le plongeur n'a pas encore touché l'eau) :

  • Le poids, pas de création de moment de force (pas de nouvelle impulsion).

  • Conservation du moment cinétique (tant qu'il n'y a pas de nouvelle impulsion).

  • I1w1 = I2w2=I4w4  I4 > I2 donc w4 < w2 (I = moment d'inertie et w = vitesse angulaire.)

  • Entrée dans l'eau :

  • Arrêt de la rotation (les moments de forces créés sont contraires à la rotation).

Dans un système composé de plusieurs parties, le moment cinétique créé dans une partie par une force interne sera automatiquement compensée par un moment cinétique contraire de l'autre partie de sorte que l'effet total reste nul.
Système composé de deux parties égales : Système composé de deux partie non égales :
A

B

A

B

A

B

A

B


cinématique du mouvement


36-cinématique du mouvement linéaire


C'est la description du mouvement sans se préoccuper des causes (les paramètres sont l'accélération, la vitesse, le déplacement).

On va faire une simplification (modélisation) du système, c'est à dire que l'on ramène la totalité du système à un seul point.

37-Notion de référentiel :



A






M



  • Trajectoire avec référentiel terrestre :




A




Trajectoire avec la roue comme référentiel :

38-Pour réaliser l'équation du mouvement


  • Choisir une origine et un système d'axes (O, i, j), direct si possible.




  • Faire le bilan des forces : si équilibre, alors , et si le système n'est en équilibre, alors .




  • On ne s'intéresse qu'aux phases aériennes : . On en déduit donc : . correspond à l'accélération instantanée d'un point M.




  • Par définition :




  • De même :




  • Nous obtenons ainsi les équations horaires du mouvement.




  • Pour obtenir les équations cartésiennes à partir des équations horaires :

39-Application


Deux balles sont lâchées au même instant du point O, origine du système. La balle A sans vitesse initiale, la balle B avec une vitesse initiale horizontale. Donner l'équation horaire de la trajectoire pour chacune de ces balles. Si la balle A pèse 5kg, et la balle B pèse 1kg, laquelle touchera le sol en premier ?

Balle A


Référentiel galiléen.


Balle B


Référentiel galiléen


Pour les deux balles, on a donc :

. Ces deux équations ne dépendent ni de la hauteur, ni de la masse des deux balles. Elles toucheront donc le sol au même moment.

40-Mouvement uniforme et mouvement uniformément varié


mouvement uniforme

mouvement uniformément varié. On en déduit :

41-Application aux sauts verticaux


Comme c'est un saut vertical, on aura un déplacement uniquement selon (O, y).


Soit ts le temps du saut :

A l'instant tm (à l'apogée), on a :


42-Application aux sauts en longueur (paraboliques)


Nous allons étudier un saut de Jesse OWENS. Nous ne nous intéresserons qu'à la phase aérienne (de l'instant où son pied quitte le sol au moment où il touche le sable).

A t0=0, son centre de gravité est à 1,10m du sol. A cet instant, v0 = 9,2m.s-1 fait un angle de 22° avec l'horizontale. A tf, G est à 0,45m du sol. Sa masse est de 70kg, et nous prendrons g=9,81m.s-2.

Déterminer la longueur de la phase de vol, sa durée, et la hauteur atteinte par son centre de gravité.
Référentiel galiléen. Système : le centre de gravité du sauteur.





Nous avons déterminé les coordonnées du centre de gravité en fonction de l'instant considéré. Calculons donc à quel instant le sauteur touchera le sol, c'est à dire à quel instant son centre de gravité sera à 0,45m du sol :


Ceci est une équation du deuxième degré à une inconnue, donc :


Déterminons maintenant la longueur de ce saut. Pour cela, il suffit de remplacer t par 0,856, dans l'équation des coordonnées de G :


Déterminons maintenant la hauteur maximale atteinte par le centre de gravité du sauteur. Pour calculer cette hauteur, nous allons nous servir du fait qu'à l'apogée, la vitesse verticale du centre de gravité est nulle, donc vy = 0 :


Le sauteur a donc fait un saut de 7,30m, qui a duré 0,856s. Il a atteint son apogée à t = 0,35s, et son centre de gravité était alors à 1,70m du sol (et à presque 3m de son point de départ).

En réalité, le saut a été de 8m13. On peut expliquer cet écart par le fait que la phase aérienne représente habituellement 88,6% de la performance (à l'impulsion, le centre de gravité se trouve derrière le sauteur, et à la réception, il se trouve devant lui).

Ici :

. On retrouve donc à peu près noter résultat théorique. L'écart supplémentaire peut s'expliquer par les erreurs de calcul, ou la résistance à l'air.

43-Calculer la vitesse d'envol


On connaît la longueur du saut, et le temps de vol. on admet que le temps de montée est égal au temps de descente. Calculons donc l'angle d'envol et la vitesse initiale :



A l'instant tm, on a vy = 0, d'où :


On connaît la longueur du saut, soit xmax :


On arrive donc à :


On peut donc en déduire , puis v0.

44-cinématique de rotation (autour d'un axe fixe)




r

S

x

y

r = rayon

S = déplacement linéaire

 = angle en radian

Axe perpendiculaire au pan dans lequel se déroule le mouvement.



  1. Déplacement angulaire



45-La vitesse angulaire


. Elle s'exprime en rad.s-1. Elle se schématise sur l'axe de rotation (axe Oz).

46-L'accélération angulaire


. Elle x'exprime en rad.s-2. Elle se décompose en deux composantes :

  • Une tangentielle à la trajectoire.

  • Une radiale, ou normale, à la trajectoire.

Il existe un lien entre la cinématique de translation et la cinématique de rotation : c'est le rayon, c'est à dire la distance qui sépare le point considéré de l'axes de rotation.

S = déplacement du point, r = rayon et  = angle de la rotation :


De plus, l'accélération radiale (ou normale) est égale à :


47-Application


1

2

3

R1 = 10,5 cm

R2 = 3,5 cm

R3 = 35 cm

Le cycliste pédale à un tour de roue par seconde.
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