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ORAL 1

Session 2003



1. Vous trouverez ci-dessous la liste des Leçons proposées à l’Oral 1 du CAPES externe de Mathématiques, session 2003.

2. Les liens vous proposeront du matériel vous permettant de construire votre propre leçon de CAPES, et d'approfondir les thèmes correspondants. Le fait que ce matériel soit rassemblé à un endroit précis devrait vous faire gagner du temps. Ces liens peuvent vous envoyer vers une leçon L ou vers un complément C. Un complément C peut être formé de remarques sur une leçon, peut développer une idée au sujet de cette leçon, proposer des exercices sur le thème, préciser les références au programme, ou renvoyer sur une ressource présente sur le Web...

3. Ces "leçons" ne constitue en aucun cas des "leçons types" que l'on pourrait présenter en 25 minutes devant le jury. Elles sont trop développées, proposent parfois plusieurs alternatives destinées à enrichir la réflexion (vous devrez, par contre, faire des choix !) et vous devrez construire une leçon de mémoire, le jour J, en utilisant au mieux les 2 heures dévolues à la préparation. Vous retrouverez certains exemples, mais pas d'autres, et devrez vous adapter pour créer une leçon rigoureuse... Enfin certaines présentation risquent de ne plus être en conformité avec le programme du secondaire, et c'est à vous de faire attention à cela ! (voir la mise en garde du point 8 sur ce sujet)

4. Attention : ces travaux risquent de trop orienter votre réflexion. Ils vous feront certes gagner du temps, mais vous devrez en perdre pour développer votre esprit critique, pour approfondir les notions abordées, pour trouver d'autres sources "nouvelles" qui pourront vous séduire... Vous en perdrez aussi pour cibler ce que vous mettrez dans vos 25 minutes de leçon, pour retenir ce que vous voudrez ré-utiliser, pour vous entraîner à l'exposé oral lui-même, pour imaginer les questions que le jury pourrait poser - et les réponses à apporter -, et pour chercher dans d'autres sources.

5. Rappelez-vous que les documents en libre partage sur ce site n'engagent que leurs auteurs, et continuent de lui appartenir après avoir nécessité un investissement en temps très important. Je vous demande donc de les utiliser seulement pour votre usage personnel et privé, et en aucun cas pour un usage commercial. Vous pouvez par contre contacter le WebMaster pour toute demande d'utilisation différente de ces travaux...

6. Une bonne leçon devra aussi entraîner des choix et s'adapter à votre caractère. Vous défendrez alors plus facilement vos options. Et votre esprit critique doit être en éveil... Il n'y a pas de "bonne leçon standard" ou de "leçon gagnante" à apprendre par coeur, mais des leçons qui tiennent la route ou non. Deux leçons différentes sur le même thème peuvent toutes les deux être une réussite !

7. Bien du travail en perspective, mais il fait un temps idéal pour approfondir ses connaissances sur des sujets un tantinet passionnants...


8. Une mise en garde importante : les programmes changent plus vite que leurs ombres, mais les leçons restent. En préparant votre leçon, il vous faudra toujours avoir un oeil sur les programmes en cours dans le secondaire ! Vous trouverez les liens vers ces programmes dans la rubrique "CAPES". Donnons trois exemples :

a) Le Théorème des accroissement finis disparaît du secondaire en 2002 ! Maintenant l'accent est mis sur les suites adjacentes, la dichotomie (qu'on visualisera avec des tableurs), le Théorème de la moyenne (en intégration)... Il faut s'adapter.

b) L'introduction des fonctions logarithmes et exponentielles se faisait depuis des lustres en présentant le logarithme népérien comme la primitive de 1/t qui s'annule en 1, puis l'exponentielle comme sa fonction réciproque. Bingo, le changement peut maintenant s'opérer à 180° en 2002, si on le désire. Les nouveaux programmes indiquent que "le mode d’introduction du logarithme n’est pas imposé". On peut maintenant introduire le logarithme soit à partir des propriétés des fonctions exponentielles (ce qui impose d'introduire l'exponentielle comme l'unique solution de l'équation différentielle y'=y valant 1 en 0, puis le logarithme népérien comme sa fonction réciproque), soit en posant le problème des fonctions telles que f(xy)=f(x)+f(y), soit en utilisant l’intégration, comme avant. Voici un petit bouleversement dans le programme de mathématiques de terminale !

c) The last but not the least, il ne faut plus écrire les coefficients binomiaux ou le nombre d'arrangements comme on avait l'habitude. Les pauvres français s'alignent sur la ligne anglo-saxonne et écriront le coefficient binomial en matrice unicolonne ! On ne dira plus "C, n, p", mais "p parmi n", comme on le lira, sniff, dans la leçon n°2. Pour l'uniformisation des symboles mathématiques, c'est le top, mais... il était pourtant beau notre Cnp :((

9. Complétez votre documentation en visitant le site d'Alain Pajor qui propose de télécharger des documents d'aides à la préparation de l'oral 1 et de l'écrit. Visitez la page des leçons d'oral 1 de la session 2002 de l'Ile des Mathématiques pour trouver d'autres leçons-types (sites recommandés par mégaMaths).

10. Je vous souhaite un bon courage à tous, et une forme d'enfer pour le jour J !


  1. Utilisation d’arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples simples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations. Lcden0003 Lcden0001

  2. Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l'utilisation de graphes orientés ou non. CCours de Eric Sigward (Introduction à la théorie des graphes). CIllustration des programmes 2002-03 en TermES et Première ES (Acad. Lille). CIntroduction d'éléments de la théorie des graphes (Accompagnements des programmes de terminale ES)

  3. Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme, Applications. Lcden0002

  4. Description mathématique d’une expérience aléatoire : ensemble des événements élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l’ensemble d’événements élémentaires est fini). Lcpro0001

  5. Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves est fini). Applications à des calculs de probabilité. Lcpro0001

  6. Variable aléatoire à valeurs réelles dont l’ensemble des valeurs est fini. Loi de probabilité. Espérance mathématique, variance. Exemples. Lcpro0001

  7. Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Lcpro0001

  8. Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de points associé . Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Lcsta-03725

  9. Division euclidienne dans Z, unicité du quotient et du reste. Applications. Lcari0001

  10. Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ. Lcann0002

  11. PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Lcari0004 Lcari0011

  12. Nombres premiers ; existence et unicité de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de nombres premiers. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Lcari0007

  13. L’anneau Z ; sous-groupes additifs de Z. Les idéaux de Z sont principaux. Egalité de Bézout. Résolution dans Z d’une équation de la forme : ax + by = c. Lcari0004

  14. Nombres décimaux. Applications. Lcsui0001

  15. Construction du corps Q des rationnels. Lcari-020602

  16. Introduction et construction du corps C des complexes. Propriétés. Lcnoc0001

  17. Racines n-ièmes d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.

  18. Module et argument d’un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications. Lcnoc0002

  19. Représentation géométrique des nombres complexes. Interprétation géométrique des applications z -> z + b, z -> az, z -> zbarre, où a et b appartiennent à C, a non nul. Exemples d’application à l’étude de configurations géométriques du plan. Lcsim0002

  20. Etude de la fonction f : z ->(z-a)/(z-b), où a, b, z sont complexes. Lignes de niveau pour le module et l’argument de la fonction f. Applications. Lcnoc0004

  21. Fonction polynôme du second degré à coefficients réels. Mise sous forme canonique ; application à l’étude du sens de variation et à la représentation graphique de la fonction. Equations et inéquations du second degré. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  22. Résolution des systèmes linéaires par opérations élémentaires sur les lignes. Méthode du pivot. Exemples. Lcsyl0001 Ccsyl-03129

  23. Caractérisation vectorielle d’une droite du plan. Représentations paramétriques. Génération des demi-droites, des segments. Parallélisme. Orthogonalité. Lceaa0004

  24. Théorème de Thalès. Projection dans le plan et dans l’espace, caractère affine des projections. Lctht0001

  25. Equation cartésienne d’une droite du plan. Problèmes d’intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes. Lceaa0003

  26. Equation cartésienne d’une droite du plan euclidien. Application à l’étude d’iné quations de la forme a cos t + b sin t >= c. Lceae0003

  27. Homothéties et translations ; transformation vectorielle associée. Invariants élémentaires : effet sur les directions, l’alignement, les distances... Applications à l’action sur les configurations usuelles. Lceaa0012

  28. Réflexion du plan échangeant deux points donnés ; médiatrice, régionnement associé. Applications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...). Lceae0001

  29. Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes données, bissectrices. Applications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes à un cercle...). Lceae0007

  30. Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, en parallélogramme, un rectangle (dans l’ordre que l’on voudra). Lciso0005

  31. Droites remarquables du triangle: bissectrices, hauteurs, médianes, médiatrices... (dans l’ordre que l’on voudra). Lctri0002

  32. Rotations planes. Notion d'angle.

  33. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d'angles, optimisation...). Lceae0009

  34. Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan ; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles. Lceae0008

  35. Le cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue. Lccer0001

  36. Théorème de l’angle inscrit : ensemble des points M du plan tels que l’angle orienté de droites ou de demi-droites (MA,MB) soit constant. Cocyclicité. Applications. Lccoc0001

  37. Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications. Lctri0001

  38. Relations métriques et trigonométriques dans un triangle quelconque. Applications. Lctri0001

  39. Produit vectoriel dans l’espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. Lcprv0001 Lcprv-020606

  40. Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orienté : calculs de distances, d’aires, de volumes, d’angles... Lceae0006

  41. Etude de l’application M-->sigma a _j MA_j. Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Associativité ; application à la détermination de barycentres attachés à des configurations usuelles du plan, de l’espace. Lceaa0005

  42. Composées d’homothéties et de translations du plan. Relation vectorielle caractéristique. Groupe des homothéties-translations. Applications. Lceaa0006

  43. Groupe des isométries du plan : décomposition d’une isométrie en produit de réflexions, groupe des déplacements, classification des isométries à partir de l’ensemble des points invariants. Lciso0007

  44. Etude des transformations du plan euclidien qui conservent les rapports de distances. Lcsim0004 Cextrait0001 (Extrait du document d’accompagnement du programme de terminale S 2002-03)

  45. Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier; exemples (triangle équilateral, carré, hexagone, octogone...). Lciso0004

  46. Droites et plans dans l’espace. Equations. Positions relatives ; plans contenant une droite donnée. Cueaa0015 (droites prenant appui sur 3 droites données parallèles à un plan donné) Lceaa0008 non prête

  47. Orthogonalité dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications. Lceae0005

  48. Ellipse déduite d’un cercle par affnité orthogonale dans le plan. Applications. (en particulier, projection orthogonale d’un cercle sur un plan). Lceae0004

  49. Réflexion de l’espace échangeant deux points donnés; plan médiateur, régionnement associé. Etude des isométries de l’espace ayant une droite de points invariants. Lciso0002 Cceaa0009 (Article de l'APMEP sur les demi-plans, la convexité et les polygones)

  50. Réflexions et rotations de l’espace. Invariants élémentaires : effet sur les distances, les angles... Applications à l’action sur les configurations usuelles. Lciso0006

  51. Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente ; interprétation cinématique.

  52. Définitions de la parabole, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre ces définitions. Construction de la tangente et de la normale en un point. Lccon0007

  53. Définitions de l’ellipse, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre ces définitions. Lccon0008 Lccon-020605 Cccon0009 (Axes de symétrie d'une ellipse).

  54. Définitions de l’hyperbole, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre ces définitions. Lccon0010

  55. Exemples de représentation paramétrique des coniques; constructions de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole. Lccon0002

  56. Suites monotones, suites adjacentes. Application à l’approximation d’un nombre réel, au développement décimal. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Lcsui0004

  57. Suites convergentes. Opérations algebriques, composition par une application continue. Comparaison de suites entre elles.

  58. Rapidité de la convergence d'une suite réelle (un) vers une limite l. Cas où | un -l | est dominé par n par kn... Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  59. Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.

  60. Etude des suites de terme général an, nb et n!. Croissances comparées. Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Lcsui0002

  61. Etude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence un+1 = f (un) et une condition initiale. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  62. Limite finie d’une fonction à valeurs réelles en un point a de R. Opérations algébriques sur les limites. Continuité d'une fonction en un point. Exemples.

  63. Limite à l’infini d’une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représentative d’une fonction. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  64. Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment. Continuité de la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. Lcfon0011

  65. Fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de R. Propriétés. Exemples. Lcfon0011

  66. Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numerique réelle. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  67. Fonctions polynômes. Lcpol0001

  68. Fonctions logarithmes. Lclog0001

  69. Fonctions exponentielles. Lclog0002

  70. Croissance comparée des fonctions réelles x |--> ex, x |--> xa et x |--> ln x au voisinage de +oo. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Lcfon0014

  71. Dérivée en un point. Interprétation géométrique. Exemples.

  72. Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivée d’une fonction composée. Exemples.

  73. Formules de Taylor. Applications. Lcfon0013

  74. Développements limités, opérations sur les développements limités. Lcdev0001

  75. Applications du calcul différentiel à la recherche d’extrémums d’une fonction numérique d’une variable réelle. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  76. Comparaison des fonctions : domination, préponderance, équivalence. Exemples et applications. Lcfon0006

  77. Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications. Lcfoc0001

  78. Théorème de Rolle. Applications.

  79. Inégalite des accroissements finis. Exemples d’applications à l’étude de suites et de fonctions. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  80. Caractérisation des fonctions réelles x |--> xa où a appartient à R par l’équation fonctionnelle : f(xy) = f(x).f(y). Applications.

  81. Caractérisation des fonctions exponentielles réelles par l’équation fonctionnelle : f(x+y) = f(x):f(y). Applications. Lclog0002

  82. Caractérisation de la fonction exponentielle réelle x-->eax où a appartient à R par l’équation différentielle y' = ay et une condition initiale. Applications. Lclog0004, Culog033270843 (exercice de TS sur la radioactivité), Applications (lien vers l'académie de Paris pour retrouver de belle applications de l'exponentielle), C02c18a La fonction exponentielle dans le programme 2002)

  83. Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre. Exemples. Lceql0002

  84. Primitives d’une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l’intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

  85. Intégration par parties. Exemples de changements de variable. Applications.

  86. Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

  87. Exemples d'approximation d'une solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

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