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Licence de mathématiques

Cette présentation décrit les enseignements de mathématiques prévus dans la maquette de la licence de mathématiques (la numérotation est propre à cette licence). Elle est complétée par la liste des enseignements de mathématiques prévus dans les U.F.R. S.F.A. et C.I.S.M. qui sont adaptés aux étudiants non mathématiciens.

Semestre 1

MATH121 Analyse élémentaire (3 crédits)
Étude pratique des fonctions d’une variable réelle : calculs de limites simples, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, calcul des dérivées, tableau de variation, dérivées successives, formules de Leibniz, formule de Taylor-Young, branches infinies, tracé de la courbe représentative, développements limités simples (somme, produit, composition).

Fonctions usuelles : fonctions polynomiales (factorisation), fonctions exponentielles réelles, fonctions logarithmes, fonctions puissances, fonctions hyperboliques, fonctions circulaires, formules trigonométriques .

Intégration : calculs de primitives simples, intégration par parties, changements de variables.

Équations différentielles linéaires : équations linéaires du premier ordre (existence et unicité), équations linéaires du second ordre à coefficients constants (existence et unicité).

Méthodologie : travail en demi-groupe sur les méthodes d’apprentissage , prise de notes, apprentissage du cours par couches successives, fabrication de fiches de résumés du cours, travail des exercices de travaux dirigés, rédaction des exercices, préparation des contrôles et examens.

Utilisation de WIMS

MATH122 Mathématiques générales (6 crédits)
Ensembles, applications, lois, relations : notions élémentaires (définitions, exemples simples).

Nombres entiers, dénombrements : nombres entiers naturels (propriétés fondamentales de N, récurrence, suites), ensembles finis (cardinaux, opérations sur les ensembles finis), dénombrements (arrangements, combinaisons), ensembles Z et Q.

Nombres complexes : parties réelle et imaginaire, conjugaison, affixe d’un point, module, cercle trigonométrique (formules d’Euler, de Moivre), argument, racines n-ièmes de l’unité, équation du second degré.

Étude pratique des suites : suites arithmétiques et géométriques, suites convergentes, majorations, opérations sur les limites, formes indéterminées, calculs de limites, suites monotones.

Compléments sur les fonctions : fonctions monotones, théorème des accroissements finis, réciproque d’une fonction (réciproques des fonctions hyperboliques, réciproques des fonctions circulaires), développement limités et applications aux calculs de limites et de branches infinies.

Éléments d’algèbre linéaire : systèmes linéaires, matrices (produit et inverse) en dimension 2 et 3.

Géométrie élémentaire du plan : repérage dans le plan (repère cartésien, coordonnées polaires), produit scalaire, déterminant, droite, cercle, utilisation des nombres complexes en géométrie plane (distance, angle, barycentre, orthogonalité), similitudes (rapport, homothéties, translations, rotations, écriture complexe d’une similitude directe).

Géométrie élémentaire de l’espace : repérage dans l’espace (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques), produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, droites et plans, sphère.

Courbes planes paramétrées et coniques : courbe définie par une représentation paramétrique, interprétation cinématique, courbe définie par une représentation polaire, coniques (foyer, directrice, équation polaire).

Méthodologie : vérification de la façon dont les étudiants travaillent et propositions adaptées en vue d’une amélioration de l’efficacité de leur travail.

Utilisation de WIMS


Semestre 2

MATH221 Suites et fonctions (6 crédits)
Corps R des nombres réels : ordre, valeur absolue, borne supérieure, borne inférieure, droite achevée, intervalles, valeurs décimales).

Suites de nombres réels : suites (suites majorées, minorées, bornées, monotones), limite d’une suite (opérations algébriques, relations d’ordre, suites extraites), relations de comparaison (suites dominée, négligeable, équivalente), théorèmes d’existence de limites (suites adjacentes, segments emboîtés, théorème de Bolzano-Weierstraß), suites à valeurs complexes (suites bornées, opérations algébriques).

Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles : fonctions d’une variable réelle (fonctions bornées, extrema, bornes supérieure et inférieure, fonctions monotones, fonctions paires, impaires, périodiques, lipschitzienne), étude locale d’une fonction (limite, continuité, prolongement, opérations algébriques, limite d’une fonction composée), relations de comparaison (équivalence, effet des opérations), fonctions continues sur un intervalle (composition, image d’un intervalle, fonction réciproque, continuité uniforme), fonctions réciproques usuelles (fonctions hyperboliques et circulaires), limites et continuité des fonctions à valeurs complexes (fonction exponentielle complexe).

Dérivation des fonctions à valeurs réelles : dérivation en un point (extremum local, fonction dérivée), théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux suites récurrentes, dérivation des fonctions à valeurs complexes.

Dérivées successives : formule de Leibniz, formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young, extension aux fonctions à valeurs complexes.

MATH222 Espaces vectoriels (6 crédits)
Structures algébriques usuelles : vocabulaire relatif aux groupes, aux anneaux et aux corps.

Espaces vectoriels : espaces vectoriels, sous-espaces (sous-espace engendré, intersection, somme, sous-espaces supplémentaires), espaces produit, espaces de fonctions, translations (sous-espace affine, intersection, barycentre, partie convexe), applications linéaires (forme linéaire, espace des applications linéaires, composition, équation linéaire, projecteur), familles de vecteurs (combinaison linéaire, famille génératrice, indépendance, famille libre, famille liée, base, coordonnées, base canonique de Kn).

Espaces vectoriels de dimension finie : dimension d’un espace vectoriel (théorème de la base incomplète, isomorphie à Kn, base d’un produit d’espaces, coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire), dimension d’un sous-espace vectoriel (rang d’une famille de vecteurs, sous-espaces vectoriels supplémentaires), rang d’une application linéaire (isomorphisme), formes linéaires.

Calcul matriciel : opérations sur les matrices (somme, produit matriciel, groupe linéaire, transposition, matrices symétriques), matrices et applications linéaires (matrices d’une application linéaire, d’une famille de vecteurs, matrice de passage, effet d’un changement de bases), opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes d’une matrice (algorithme de Gauß), rang d’une matrice (invariance, calcul du rang), systèmes d’équations linéaires (système homogène associé, rang d’un système linéaire, structure affine de l’ensemble des solutions, système de Cramer, algorithme de Gauß).

Géométrie affine : sous-espaces affines (parallélisme, intersection de sous-espaces), applications affines (composition, transformations affines, homothéties, translations, projections), repères cartésiens, représentation des sous-espaces affines (paramétrage d’un sous-espace affine, équation cartésienne d’un hyperplan, équation d’une droite en dimension trois), barycentres (propriétés, convexité), projections, symétries, affinités, structure d’espace affine.

MATH227 Statistiques et probabilités (3 crédits)
Notions de base : variables, tableaux, graphiques.

Distributions à une variable : caractéristiques de position, caractéristiques de dispersion.

Distributions à deux variables : covariance, coefficient de corrélation linéaire, ajustement linéaire.

Dénombrement : parties d’un ensemble, permutations, arrangements, combinaisons, formule du binôme.

Lois et variables : lois de probabilité discrètes (Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson), variables aléatoires discrètes, espérance, variance, covariance, indépendance

Lois et variables : lois de probabilité à densité (uniforme, normale, log-normale, exponentielle, gamma, beta), variables aléatoires à densité, espérance, variance, covariance, indépendance.

Semestre 3

MATH321 Fonctions et séries (6 crédits)
Fonctions convexes : inégalité de convexité, caractérisation géométrique, caractérisation en terme de pente, convexité et dérivabilité.

Développements limités : en un point, au voisinage de l’infini, opérations algébriques, fonctions usuelles, points singuliers des courbes paramétrées, développements limités d’une primitive, d’une dérivée). développements limités des fonctions à valeurs complexes.

Séries numériques : suites et séries (sommes partielles, convergence), séries de nombres positifs (séries de Riemann, règle de Cauchy et d’Alembert, comparaison d’une série à une intégrale, sommation des relations de comparaison), convergence et convergence absolue, séries semi-convergentes, séries alternées, produit de séries.

MATH322 Introduction à l’algèbre (6 crédits)
Raisonnement mathématique : occurrences libres et liées d’une variable, connecteurs logiques, raisonnement par l'absurde, condition nécessaire, condition suffisante, proposition directe et réciproque, contre-exemples.

Structures algébriques : lois de composition interne (morphismes), groupes (sous-groupe, morphismes, isomorphisme, image et noyau, groupe Z), anneaux (sous-anneau, morphisme, éléments inversibles, anneau Z), corps (sous-corps, corps Q), espaces vectoriels, algèbres (sous-algèbres, morphismes).

Arithmétique dans Z : division euclidienne, diviseurs communs, nombres premiers entre eux, p.g.c.d et p.p.c.m., algorithme d’Euclide, forme irréductible d’un nombre rationnel, théorème de Bézout, théorème de Gauß, nombres premiers, décomposition d’un entier, numération.

Polynômes (ici K = R ou C) : algèbre K[X], degré, substitution, division euclidienne dans K[X], racines (racines multiples, polynômes scindés, fonctions symétriques élémentaires), dérivation (dérivées successives, formule de Taylor, ordre d’une racine), factorisation dans C[X] et dans R[X], théorème de d’Alembert-Gauß, diviseurs communs, polynômes premiers entre eux, p.g.c.d et p.p.c.m., algorithme d’Euclide, théorème de Bézout, théorème de Gauß, polynômes irréductibles, décomposition d’un polynôme.

Fractions rationnelles : corps K(X) (représentant irréductible d’une fraction rationnelle, degré, racines, pôles, composition), décomposition en éléments simples (partie entière, partie polaire), application au calcul de primitive et à l’intégration.

MATH323 Algèbre linéaire (6 crédits)
Groupes cycliques, groupe symétrique : sous-groupe engendré par un élément (groupes monogènes, ordre d’un élément, générateurs d’un groupe cyclique), groupe symétrique (cycles, transpositions, décomposition d’une permutation, signature, groupe alterné).

Applications multilinéaires : applications n-linéaires symétriques, antisymétriques, alternées.

Déterminants : forme n-linéaire alternée sur un espace de dimension n, déterminant de n vecteurs dans un espace de dimension n, solution d’un système de Cramer (théorème de Rouché-Fontené), déterminant d’un endomorphisme (composé), déterminant d’une matrice carrée (produit, transposé), développement par rapport à une ligne ou une colonne, cofacteurs, déterminants par blocs.

Espaces vectoriels, applications linéaires (ici K est un corps commutatif) : bases et sommes directes (famille libre, liée, génératrice, base, coordonnées, base canonique de K[X], application linéaire, produit d’une famille d’espaces vectoriels, somme et somme directe de sous-espaces vectoriels, base adaptée à une décomposition en somme directe), image et noyau d’une application linéaire (sous-espaces stables, codimension et théorème du rang, projecteur, espace dual, hyperplan), dualité en dimension finie (forme linéaire coordonnée, base duale, base anti-duale, orthogonalité), trace d’un endomorphisme (trace d’une matrice, d’un produit de matrices, matrices semblables et trace),

Matrices : calcul matriciel et systèmes d’équations linéaires (matrices équivalentes et rang, opérations sur les lignes et les colonnes, applications à la recherche du rang, à la résolution de systèmes linéaires, à la recherche de l’inverse, au calcul de déterminant, application de la dualité à l’étude d’un système d’équations linéaires).

Méthodes numériques : résolution d’un système linéaire par la méthode du pivot de Gauß, résolution de systèmes linéaires tri-diagonaux.

MATH324 Analyse numérique (6 crédits)
Valeurs approchées de réels : calcul de nombres réels remarquables, accélération de convergence (méthode de Richardson).

Analyse : calcul approché d’une intégrale (méthodes de Newton-Cotes, de Gauß), accélération de convergence (méthode de Richardson-Romberg), interpolation, approximation uniforme, calcul approché des zéros d’une fonction (dichotomie, utilisation des suites récurrentes, méthode de Newton), approximation du point fixe d’une application scalaire par itération, approximation du point fixe d’une application vectorielle par itération, résolution d’une équation différentielle par la méthode d’Euler.

Algèbre linéaire : résolution d’un système linéaire par la méthode du pivot de Gauß, factorisation QR (méthode de Householder, présentation géométrique), détermination des éléments propres d’une matrice symétrique (méthode de Jacobi, méthodes de tri-diagonalisation de Givens et de Lanczos-Householder), détermination des éléments propres pour des matrices de grande dimension, méthode de la puissance itérée.

Initiation à Matlab : présentation, types de données et de variables et opérations associées, les entrées-sorties, programmation, graphisme.


Semestre 4

MATH421 Calcul intégral (6 crédits)
Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles : fonctions continues par morceaux, (fonction en escalier, approximation d’une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier), intégrale d’une fonction continue par morceaux (intégrale d’une fonction en escalier, linéarité, croissance, intégrale d’une fonction continue par morceaux, linéarité, croissance, relation de Chasles), valeur moyenne d’une fonction, inégalité de la moyenne, produit scalaire, sommes de Riemann), intégration des fonctions à valeurs complexes, calculs d’intégrales (primitive de fonctions usuelles, de fractions rationnelles).

Intégration et dérivation : primitives et intégrale d’une fonction continue, calcul des primitives (intégration par parties, changement de variable), primitives des fonctions usuelles, formule de Taylor avec reste intégral.

Intégration sur un intervalle quelconque : fonctions intégrables à valeurs positives (opérations, croissance), fonctions intégrables à valeurs complexes, linéarité de l’intégrale, relation de Chasles, changement de variable.

Calcul approché d’une intégrale : méthodes des rectangles, des points milieux, des trapèzes, de Simpson.
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