Classe de Terminale 13 Mardi 28 mai 2013





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Classe de Terminale 13 Mardi 28 mai 2013

Bac blanc n°2

Exercice 1 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Quatre affirmations vous sont proposées, vous devrez dire si elles sont vraies ou fausses, en démontrant votre affirmation. Une réponse non argumentée ne sera pas comptée. En revanche, toute tentative de démonstration, même incomplète, sera valorisée.

est la fonction définie sur par

  1. est croissante sur

  2. Une primitive de est donnée par

  3. Pour tout réel , l’équation admet au moins une solution

  4. Pour tout réel ,



Exercice 2 (6 points)

On définit la suite par et, pour tout , .

  1. Calculer .

  2. On pose . Vérifier que , en déduire une primitive de et calculer .

  3. Démontrer que la suite est décroissante et minorée par 0. Que peut-on en déduire ?

  4. On pose, pour tout , . Montrer que, pour tout de , . En déduire que, pour tout , et la limite de .

  5. Justifier que la dérivée de vaut . En déduire que, pour tout , . En déduire le calcul de et .

  6. Quelle est la limite de  ?

  7. Compléter l’algorithme suivant (les lignes en gras), qui calcule en utilisant la relation obtenue au 5 :

Variables :

Début algorithme

Lire

reçoit

Pour allant de à

reçoit

Fin pour

Afficher

Fin algorithme
Exercice 3 (4 points)

est un cube de côté 1 (voir figure). On se placera, si nécessaire, dans le repère

  1. Quelle est la nature du triangle  ?

  2. Montrer que . En déduire une équation du plan

  3. On appelle le milieu de , celui de . Calculer . En déduire la valeur de l’angle .

  4. Donner un système d’équations paramétriques de . En déduire les coordonnées du point , intersection de et

  5. Montrer que les points sont alignés. Quelle est la position de dans le triangle  ?


Exercice 4 (6 points)

  1. Restitution organisée de connaissances :

  1. est une variable qui suit la loi exponentielle de paramètre . Quelle est l’expression de sa densité  ?

  2. Vérifiez que la fonction définie par est une primitive de la fonction g définie par

  3. On rappelle que l’espérance de est donnée par . Calculer .

  1. Un fabriquant d’ampoules LED annonce : 90% de nos ampoules fonctionnent encore 5 ans après. On suppose que la durée de vie en années de ces ampoules suit une loi exponentielle de paramètre .

  1. Déterminer , en donner une valeur approchée à près. Dans toute la suite, on prendra .

  2. Quelle est l’espérance de  ? Que représente-t-elle ?

  3. Déterminer la probabilité qu’une ampoule fonctionne plus de 12 ans. Une ampoule a déjà fonctionné pendant 5 ans, quelle est la probabilité qu’elle fonctionne plus de 17 ans ?

  4. Déterminer la demi-vie de ces ampoules, c’est-à-dire la durée au bout de laquelle une ampoule a une chance sur 2 de fonctionner encore.

  1. Dans un souci écologique, M Dupont décide de changer ses ampoules par des ampoules LED. On rappelle que la probabilité qu’une ampoule LED fonctionne encore au bout de 5 ans est de 0,9. Il achète 10 de ces ampoules, on suppose leurs durées de vie indépendantes.

  1. On appelle le nombre d’ampoules encore en fonctionnement au bout de 5 ans. Quelle est la loi de , son espérance ?

  2. Quelle est la probabilité que 8 au moins des ampoules achetées fonctionnent encore au bout de 5 ans ?

  1. Une municipalité décide de remplacer les ampoules des bâtiments municipaux par des ampoules LED. Elle achète 1000 ampoules, et on appelle le nombre d’ampoules en fonctionnement au bout de 5 ans.

  1. Une approximation par la loi normale est-elle légitime ?

  2. Pour la loi normale centrée réduite, déterminer .

  3. Le directeur technique de la mairie annonce au conseil municipal qu’il y a 999 chances sur 1000 que dans 5 ans, entre 868 et 932 ampoules soient encore en fonctionnement. Reproduire son raisonnement.


Corrigé

Exercice 1 

  1. donc , et si , soit ou est négative. Elle n’est donc pas croissante sur l’intervalle

  2. a bien pour dérivée  ; a bien pour dérivée , mais on doit appliquer la dérivée de , ce qui ne donne pas .

  3. Comme est continue, que sa limite en est et que sa limite en est , d’après le théorème des valeurs intermédiaires, on a bien que Pour tout réel , l’équation admet au moins une solution

  4. C’est vrai car .


Exercice 2

  1. .

  2. donc . Ainsi , et une primitive de est donc . On a donc .

  3. Pour tout , par linéarité de l’intégrale. Or, pour tout , , donc par positivité de l’intégrale, . On a donc pour tout , , la suite est décroissante. D’autre part pour tout , , donc , la suite est minorée par 0. Étant décroissante et minorée, elle est convergente.

  4. On pose . Comme, pour tout , , on a bien, en multipliant par le réel positif  : . Par comparaison d’intégrales, on obtient soit ou encore . Comme , d’après le théorème des gendarmes a pour limite 0.

  5. donc par produit . En intégrant cette égalité, on obtient soit soit finalement . Pour , on obtient donc , pour on obtient donc

  6. On a , comme et ont pour limite 0, a pour limite .

  7. On a pour tout  : . Les lignes manquantes sont donc :

Pour allant de 1 à

reçoit

Afficher .
Exercice 3

  1. , le triangle est équilatéral.

  2. Dans le repère , , et . On a bien et , la droite , orthogonale à deux sécantes du plan , est orthogonale à ce plan. On a son vecteur normal, on obtient comme équation de  : .

  3. et , donc et ; . D’autre part, , donc et .

  4. passe par , est dirigée par . Elle admet pour système d’équations paramétriques

On trouve les coordonnées de par substitution du système paramétrique dans l’équation du plan : a pour solution et .

  1. et sont colinéaires avec . Les points sont alignés, est aux deux tiers de la médiane du triangle , c’est le centre de gravité de ce triangle.

Exercice 4

  1. La densité d’une variable exponentielle est définie par

La dérivée de s’obtient par produit :

d’après le b. Cette intégrale vaut donc . Or (donc par composée et par théorème des croissances comparées. On a donc , l’espérance de .

  1. L’énoncé donne , donc . Mais d’après la définition, . On a donc et

D’après la ROC (ou d’après le cours, ou par théorème), . Une ampoule LED a donc une durée de vie moyenne de 47,6 ans.

. Comme la loi exponentielle est sans mémoire, la probabilité qu’elle fonctionne plus de 17 ans sachant qu’elle a fonctionné 5 ans est aussi égale à

On cherche tel que soit , équation équivalente à ou encore . La demi-vie des ampoules est donc de 33 ans.

  1. Les durées de vie sont indépendantes, le nombre d’ampoules en fonctionnement au bout de 5 ans suit donc la loi binomiale de paramètres 10 et 0,9. Son espérance est de .

La probabilité qu’au moins 8 de ces ampoules fonctionnent encore au bout de 5 ans est ce qui vaut environ 0,9298

  1. On a une loi binomiale de paramètres 1000 et 0,9, les conditions , et sont bien remplies. L’approximation par une loi normale est bien justifiée.

Pour la loi normale centrée réduite, est défini par , soit aussi, d’après les propriétés de cette loi, . On obtient à la calculatrice

La variable c'est-à-dire suit approximativement une loi normale centrée réduite. Ainsi . D’autre part, l’événement devient , ce qui est équivalent à soit . Tous calculs faits, on obtient ce qui explique l’affirmation de l’énoncé.

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