C evolution des systèmes électriques





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2 Cas d’un dipôle RC

      1. Le condensateur


Un condensateur est constitué de deux surfaces conductrices séparées par un isolant. Les surfaces conductrices sont les armatures ; l’isolant est le diélectrique.
q

- q

u

i

q désigne la charge du condensateur


Remarques 
On adopte la convention récepteur aux bornes du condensateur.
+ q est la charge électrique de l’armature qui reçoit i (l’autre armature porte la charge – q).
      1. Relation charge intensité pour un condensateur


L’intensité est un débit de charges électriques. Si pendant la durée dt, une armature reçoit une quantité d'électricité dq, l'intensité i du courant est :
(1)
      1. Relation charge tension pour un condensateur


On charge un condensateur à l’aide un générateur de courant et on relève la tension u à ses bornes.


u

u = a.t
A

I0

u

D


+


t

0




  • 0







La tension « u » et la quantité d’électricité positive « q » reçue par l’armature D croissent proportionnellement au temps :

u = a.t et q = I0.t  (on pose )

C est une constante caractéristique appelée capacité du condensateur. Elle dépend de la forme et des dimensions du condensateur ainsi que la perméabilité électrique  du diélectrique.
On en déduit la relation charge tension pour un condensateur :
(2)
      1. Dipôle RC

Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension


Un générateur de tension soumet un circuit RC à un échelon de tension. En pratique, on bascule l’interrupteur K d’un circuit alimenté par un générateur de tension continue :


-YB

+





i

E

uR

uC



K

YA












A l’aide d’un oscilloscope à mémoire (ou d’un ordinateur) dont la masse est flottante, on suit les évolutions de la tension aux bornes du condensateur et de l’intensité du courant dans le dipôle :

cas n°2

cas n°1

0

temps

0

0

temps

temps

E

0

0

0

E

intensité du courant dans le dipôle

tension aux bornes du condensateur

tension aux bornes du dipôle RC




uC (t)




uC (t)


i (t)


i (t)



On se propose d’effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur lorsque le dipôle RC est soumis à un échelon de tension :
- loi d’additivité des tensions : U = uR + uC (U = 0 ou E)
- loi d’Ohm : U = R .i + uC (3)

- relation charge intensité (1) : U = + uC

- relation charge tension (2) : U = + uC (4)
On obtient une équation différentielle du premier ordre. Sa résolution permettra d’anticiper l’évolution de uC en fonction du temps. On cherchera une solution de la forme :
+ B (5)
Les valeurs de A et B seront déterminées compte tenu des conditions de l’expérience :


  • Avant le basculement de l’interrupteur ou quand le temps tend vers l’infini, les variables électriques ne dépendent pas ou plus du temps (le régime est dit stationnaire). En particulier, la charge électrique q du condensateur est constante.


(1) : i = 0 (3) : uC = U (5) : B = uC (t  ∞)= U


  • On a vu ci-dessus que les tensions aux bornes du condensateur et du générateur sont égales en régime stationnaire. A l’instant initial uC (t = 0) = E ou 0 :


(5) : uC (t = 0) = A + U
L’intensité du courant parcourant le dipôle s’en déduit aisément  (1) et (2) :
On met en évidence deux solutions analytiques pour la tension aux bornes du condensateur et l’intensité du courant :
cas n°1 U = E

cas n°2 U = 0

Constante de temps d’un dipôle RC


Le temps de charge et de décharge du condensateur dépend des valeurs de R et de C :


0

décharge d’un dipôle RC

  très élevé

  élevé

  peu élevé

tension

temps







tension

temps







charge d’un dipôle RC



0



loi d’Ohm : (2) : (1) :
A l’évidence [uR] = [uC], [dq] = [q] et [dt] = [t]
d’où
L’analyse dimensionnelle ci-dessus confirme que le produit R.C à les dimensions d’un temps noté 
Remarque 
Le calcul montre que  représente le temps au bout duquel la charge et la décharge sont réalisées à 63%

0

tension

temps




E

tangente à la courbe de décharge du condensateur à l’instant t = 0


0,37.E





Energie emmagasinée dans un condensateur


Pour charger un condensateur de la quantité d’électricité dq, un générateur fournit le travail électrique dWe
- relation charge intensité du courant : i.dt = dq
- on multiplie les deux membres par u : u.i.dt = u.dq
- définition du travail électrique : u.i.dt = p.dt = dWe = u.dq

- relation charge tension pour un condensateur : dWe = u.dq = u.d (C.u) =

- la tension aux bornes du condensateur croit de 0 à u durant la charge :

Ainsi, le condensateur stocke de l’énergie potentielle électrostatique :


Le stockage ou le déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément. Ainsi l’énergie potentielle électrostatique est une grandeur continue. Donc la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.
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