C evolution des systèmes électriques





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3 Cas du dipôle RL

      1. La bobine


Elle est constituée d’un fil de cuivre, enrobé d’un vernis isolant, bobiné sur un axe cylindrique évidé.

u

i

On adopte la convention récepteur aux bornes de la bobine :

Un circuit est alimenté par un générateur qui débite un courant en dents de scie.

uL

i

0

0

temps

temps

i (t)

uL (t)
i

uG

uL


On constate expérimentalement qu’une bobine s’oppose aux variations de courant dans le circuit où elle se trouve.
      1. relation tension courant


Par ailleurs, la tension u L aux bornes de la bobine est proportionnelle à la dérivée de l’intensité du courant par rapport au temps . On note L le coefficient de proportionnalité appelé inductance de la bobine. On en déduit la relation tension courant pour une bobine idéale :
(7)
Une bobine réelle possède toujours une résistance interne r. On généralise donc la relation ci-dessus :

      1. Le dipôle RL

Réponse en courant d’un dipôle RL soumis à un échelon de tension


Un générateur de tension soumet un circuit RL à un échelon de tension. La bobine est idéale. En pratique, on bascule l’interrupteur K d’un circuit alimenté par un générateur de tension continue :

K

-YB

+





i

E



YA






uR

uL





A l’aide d’un oscilloscope à mémoire (ou d’un ordinateur) dont la masse est flottante, on suit les évolutions de l’intensité du courant dans le dipôle :


cas n°2

cas n°1

0

0

temps

temps

E

0

0

E

intensité du courant dans le dipôle

tension aux bornes du dipôle RL




i (t)




i (t)


On se propose d’effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant quand le dipôle RL est soumis à un échelon de tension :
- loi d’additivité des tensions : U = uR + u L (U = 0 ou E)
- loi d’Ohm : U = R .i + u L

- relation tension intensité (7) : U = R .i + (8)
On cherche une solution de l’équation sans second membre :

La solution de (8) s'obtient en ajoutant une constante B :
+ B (9)
Les valeurs de A et B seront déterminées compte tenu des conditions de l’expérience :


  • Avant le basculement de l’interrupteur ou quand le temps tend vers l’infini, le régime est dit stationnaire. En particulier, l’intensité i du courant est constante.


Loi d’Ohm : (9) : B = i (t  ∞)


  • L’intensité est la même en tout point d’un circuit série. A l’instant initial i (t = 0) = E/R ou 0.


(9) : i (t = 0) = A +
On met en évidence deux solutions analytiques pour l’intensité du courant traversant le dipôle
cas n°1 U = E

cas n°2 U = 0

Constante de temps d’un dipôle RL


On montre expérimentalement que le temps d’installation et d’annulation du courant dans une bobine dépend des valeurs de R et de L :

0

0

annulation du courant dans un circuit RL

  très élevé

  élevé

  peu élevé

intensité

temps







intensité

temps








établissement du courant dans un circuit RL soumis à un échelon de tension



loi d’Ohm : relation intensité tension : relation charge intensité :
A l’évidence [uR] = [u L], [di] = [i] et [dt] = [t]
d’où

L’analyse dimensionnelle ci-dessus confirme que le quotient a les dimensions d’un temps noté 

Energie emmagasinée par une bobine


Pour augmenter l’intensité du courant dans le circuit de la quantité di le générateur doit fournir le travail électrique dWe
- définition du travail électrique : dWe = u.i.dt
- relation intensité tension aux bornes de la bobine : dWe =

- l’intensité du courant aux bornes de la bobine augmente de 0 à i :
Ainsi la bobine stocke de l’énergie potentielle magnétique :


Le stockage ou le déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément. Par conséquent, l’intensité du courant dans un circuit qui contient une bobine ne subit pas de discontinuité.
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