C evolution des systèmes électriques





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4 Oscillations libres dans un circuit RLC série

      1. Décharge oscillante d’un condensateur dans une bobine


Un condensateur chargé (q D > 0) de capacité C est monté en série avec une bobine idéale d’inductance L et un résistor de résistance R. On ferme l’interrupteur K.


K



D

uC

uL

i



uR



On constate expérimentalement que l’évolution de la tension aux bornes du condensateur dépend de la valeur de la résistance R :


tension

tension

uC (t)

uC (t)

R forte

régime apériodique

R faible

régime pseudo-périodique

R nulle

régime périodique

temps

uC (t)

temps

temps

tension


      1. Période propre et pseudo-période


La période ou la pseudo-période est l’intervalle de temps séparant deux passages successifs d’une grandeur physique variable par la même valeur avec le même sens de variation.


T0 la période propre de l’oscillateur

T la pseudo-période de l’oscillateur

uC (t)

temps

tension

tension

uC (t)



temps

      1. Echanges énergétiques dans un circuit RLC


Le circuit RLC évolue sans apport énergétique. L’oscillateur ainsi réalisé est dit libre.


fermeture de l’interrupteur K

i (t)

intensité

0

temps

uC (t)

tension

0


temps



énergie



Ep (magnétique)




Ep (électrostatique)



0

temps

Observations 
- Au cours des oscillations libres, il y a échange d’énergie entre la bobine et le condensateur
- L’énergie totale du circuit diminue progressivement par effet Joule
- Le régime périodique correspond au cas idéal pour lequel la résistance du circuit est nulle

      1. Résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur


On se propose d’effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur (ou la charge de celui-ci) soumis à un échelon de tension dans le cas d’un amortissement négligeable :
loi des d’additivité des tensions : uL + uC = 0
relation charge tension pour un condensateur :

relation intensité tension pour la bobine :

relation charge intensité pour un condensateur :

relation charge tension pour un condensateur :
l’évolution de la tension aux bornes du condensateur est régie par l’équation différentielle du deuxième ordre :

avec
Cette équation différentielle admet pour solution la plus générale :

A et  sont des constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions de l’expérience.
L’intensité du courant parcourant le dipôle s’en déduit aisément :
(1) et (2) :
La grandeur caractéristique de cet oscillateur est sa période propre :


      1. Entretien des oscillations du circuit RLC


Un circuit LC dépourvu de résistance est un cas idéal impossible à réaliser. Pour obtenir des oscillations non amorties, on utilise un dispositif d’entretien :
énergie absorbée par la résistance pendant l’intervalle de temps dt : dER = R. i² .dt
énergie fournie par le dispositif d’entretien pendant l’intervalle de temps dt : dEG = uG. i .dt
Le dispositif qui entretient les oscillations fournit exactement l’énergie évacuée par transfert thermique par la résistance :

dER = dEG  uG = R. i
Il délivre une tension proportionnelle à l’intensité du courant qu’il débite.

énergie absorbée par la résistance

énergie fournie par le générateur

Ep (magnétique)

Ep (électrostatique)

temps

énergie


L’oscillateur électrique ainsi réalisé est dit entretenu.
    1. Notations, unités et valeurs


C capacité d’un condensateur. [ C ] = F

d opérateur différentiel.

d/dt opérateur de dérivation.

e charge électrique élementaire. e = 1,6.10-19 C

E force électromotrice ou fém. d’un générateur actif. [ E ] = V

E’ force contre électromotrice ou fcém. d’un récepteur actif. [ E ] = V

Ep énergie potentielle. [ Ep ] = J

f0 fréquence propre d’un oscillateur. [ f0 ] = Hz

i intensité d’un courant électrique variable. [ i ] = A

I intensité d’un courant électrique continu. [ I ] = A

L inductance d’une bobine. [ L ] = F

p puissance électrique variable. [ p ] = W

q charge électrique. [ q ] = C

r résistance électrique interne d’un dipôle linéaire. [ r ] = 

R résistance électrique d’un résistor. [ R ] = 

T pseudo-période d’un oscillateur amorti. [ T ] = s

T0 période propre d’un oscillateur. [ T0 ] = s

u tension électrique variable. [ u ] = V

We travail électrique. [ We ] = J

 phase à l’origine du temps. [  ] = rad

 constante de temps d’un oscillateur. [ ] = s

0 pulsation propre d’un oscillateur. [ 0 ] = rad.s-1
    1. Connaissances et savoir-faire exigibles


2 Cas d’un dipôle RC
Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.

En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches tension, noter les charges des armatures du condensateur.

Connaître les relations charge intensité et charge tension pour un condensateur en convention récepteur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité.

Savoir exploiter la relation q = Cu.

Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipôle RC est soumis à un échelon de tension.

En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur.

Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.

Savoir exploiter un document expérimental pour :

- identifier les tensions observées,

- montrer l’influence de R et de C sur la charge ou la décharge,

- déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.
3 Cas du dipôle RL
Connaître la représentation symbolique d’une bobine.

En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes flèches tension.

Connaître l’expression de la tension aux bornes d’une bobine; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation.

Effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension.

En déduire la tension aux bornes de la bobine.

Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée.

Savoir qu’une bobine s’oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que

l’intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité

Savoir exploiter un document expérimental pour :

- identifier les tensions observées

- montrer l’influence de R et de L lors de l’établissement et de la disparition du courant

- déterminer une constante de temps.
4 Oscillations libres dans un circuit
Définir et reconnaître les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.

Savoir tracer l’allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour

les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.

Dans le cas d’un amortissement négligeable, effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci.

En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Connaître l’expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité.

Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l’énergie évacuée par transfert thermique.

Savoir interpréter en terme d’énergie les régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique et entretenu.

Savoir exploiter un document expérimental pour :

- identifier les tensions observées,

- reconnaître un régime

- montrer l’influence de R et de L ou C sur le phénomène d’oscillations

- déterminer une pseudo-période.


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