                       Chapitre ❷
L’Hydrodynamique
Introduction
L’hydrodynamique est l’étude des propriétés physiques d’un fluide en mouvement
Généralités et définitions
La différence de pression Considérons l’écoulement d’un fluide dans une conduite il n y a pas d’écoulement dans une canalisation sans différence de pression entre ses extrémités P1>P2
P1 le sens de P2
Fluide S
V
Le débit volumique
Supposons l’écoulement d’un fluide dans une circulation de section S constante à vitesse v
L=v.dt
Si dv est le volume élémentaire du fluide traversant S pendant dt le débit v s’écrit
D=
Ce volume est celui d’un cylindre de longueur L=v.dt distance parcourue par le fluide pendant dt donc
Dv=S.L=S.v.dt
Soit d=S.v on a S en m² v en m/s et D en m/s
Soit un fluide incompressible passe par un tube ayant un rétrécissement 
Le produit Sv est donc le débit du fluide et il est cst 
Cette dernière équation est l équation de continuité elle montre que pour un fluide incompressible la vitesse du fluide augmente Si la section du tube conducteur décroit
Exemple la section de l’aorte chez une personne normale au repos est de 3cm² et la vitesse du sang v est de 30cm/s un capillaire type a e section d’environ 3*10¯⁷ cm² et le sang y circule avec de v=0.05cm/s. Combien de capillaire cette personne a-t-elle ?
Solution
Le débit massique
C’est la masse du fluide qui traverse la surface S pendant l’unité du temps d ou
Dm=  dm traverse S pendant dt
La masse volumique ρ du fluide vaut ρ=
D ou Dm=ρ. = ΡD
Pour les liquides incompressibles on peut considérer que ρ=cste
Fluide parfait et fluide réel ou visqueux
Dans un fluide réel une fraction d’énergie du fluide est dissipée sous forme de chaleur par les frottements qui sont dus à la viscosité du fluide
Il s’agit des fluides visqueux par opposition aux fluides parfaits ou les frottements sont absents
Un fluide visqueux s’écoulera difficilement
Nature de l’écoulement
Un écoulement est dit permanent ou stationnaire si toutes les grandeurs du fluide (T ;P ;vitesse ;masse volumique……)
Ont une valeur cste dans le temps en chacun des points de l’écoulement
L’écoulement peut être laminaire ou turbulent
Régime laminaire Un écoulement laminaire est caractérisé par une seule direction de vitesse et les vecteurs
des vitesses sont parallèles
|
régime turbulent
un écoulement turbulent sera caractérisé par des tourbillons dans le fluide
|
Le théorème de Bernoulli
Hypothèse 
Fluide parfait
Ecoulement laminaire
Régime stationnaire
Section Sa en A et Sb en B
Pa et Pb les pressions en A et B
Va et v b les vitesses du fluide en ces points
Sa et Sb a l’instant t
Sa` et Sb` a l’instant t+dt
∆Va =∆Vb=∆V
∆Va= le volume compris entre Sa et Sa'
∆Vb= le volume compris entre Sb et Sb`
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique qui dit que
« La variation de l’énergie cinétique d’un système au cours du déplacement est égale au travail des forces appliquée durant ce déplacement »
Le travail des forces de pression au cours du déplacement
Déplacement AA′ Waa´= .La=Pa .Sa. La=Pa. ∆V
Déplacement BB′ Wbb´= -Pb. ∆v
Au total W pression =Waa´+Wbb´=(Pa-Pb)∆V
Travail des forces de pesanteur
Soit dm la masse de volume dV
W pression =dm .g (za-zb) = ρ.∆V.g (za-zb)
Variation de l’énergie cinétique
∆Ec=  m va² - m vb ² = ρ∆V (va² - vb²)
L’application du théorème nous donne :
ρ∆V (va² - vb²) = (Pa-Pb)∆V + ρ.∆V.g (za-zb)
Soit après simplification pour ∆V et réorganisation de l équation
Pa + ρ .g.za + ρ. va² = Pb + ρ .g .zb + + ρ. vb²
P+ + ρ .g.z + ρ. v ² = cste → théorème de Bernoulli
On remarque que si v=0 on retrouve la relation fondamentale de la statique des fluides
P+ ρ .g.z = cste
Application
L’écoulement a l’aire libre Calculez la vitesse en un point B
La solution :
D= Sa Va = Sb . Vb
Sa>>Sb et Va >> Vb
Pa=Pb=Patm
H= za-zb
Va≈0 négligeable
Le théorème de Bernoulli
Pa + ρ .g.za + ρ. va² = Pb + ρ .g .zb + ρ. vb²
ρ .g.za = + ρ .g .zb + ρ. vb²
vb² = g(za-zb ) = g.h donc vb = 
La vitesse du fluide est la même que s’il tombe en chute libre d’une hauteur h
Point d arrêt 
 m P
Pm + ρ .g.zm + ρ. vm² = Pp + ρ .g .zp+ + ρ. vp²
Zm=Zp et Vp=0 point d arrêt Pp=Pm+ ρ. vm²
Tube de Pitot
Tube1
Pa + ρ .g.za + ρ. va² = Pb + ρ .g .zb + + ρ.vb²
Pa = Patm Va=0 et zb =0
B point d’arrêt qui oblige l’écoulement à changer le trajet
Vb=0 , Pb=Pm+ ρ. vm² , Patm + ρ .g.za = Pb= Pm+ ρ. vm²
Pm=Patm + ρ .g.za - ρ. vm²
Tube 2
Pa' + ρ .g.za'+ ρ. va'² = Pb'+ ρ .g .zb' + + ρ. vb'²
Pa '= Patm ' Va'=0 et zb' =0 Vb'=0 Pb'=Pm
Patm + ρ .g.za' = Pb= Pm
Pm=Patm + ρ .g.za- ρ. vm² = Patm + ρ .g.za'
ρ .g (za – za') = ρ. vm² ==» Vm = 
Si S est la section le débit volumique vaut D= S.Vm
Tube de venture 
Pa + ρ .g.za+ ρ. va² = Pb + ρ .g .zb + ρ. vb²
Za=zb et Pa-Pb= ρ(vb² -va²)
Le débit volumique est conservé si le fluide est incompressible
D = Sa.Va = Sb.Vb
Vb> Va
Pa-Pb= ρ( ) et Sb donc Pa>Pb il y a donc une dépression à l’endroit du rétrécissement sténose vasculaire
L’écoulement d un fluide visqueux
La viscosité 
L’écoulement laminaire d’un fluide réel
Le fluide exerce sur la paroi une force tangentielle qui tend à l’entrainer dans le sens de l’écoulement
La paroi exerce sur le fluide une force tangentielle qui oppose une résistance à l’écoulement
Les couches proches à la paroi adhérent à celle-ci
La vitesse de fluide est plus grande au centre du tube
Le fluide en contact avec la paroi, l’existence d’une force de frottement interne
La relation entre la viscosité dynamique et cinématique
viscosité cinématique Dimension : [] = L2·T-1.
Ρ est la masse volumique
est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. Dimension : [] = M·L-1·T-1.
Le système SI l’unité η est. : Pas ou Poiseuille (Pl): 1 Pl = 1 kgm-1s-1
Le système CGS l’unité η est. le Poise (Po); 1 Pl = 10 Po = g cm-1s-1
Lors de l’écoulement d’un fluide réel il y a des forces de frottements
Un fluide pour lequel cette loi est vérifiée est dit newtonien
Le coefficient de viscosité est alors indépendant -De la force - de la vitesse -des dimensions de la conduite η en général
Il est beaucoup plus élevé pour les liquides que pour les gaz
Pour les liquides η ↘ avec  ( ) tandis que pour les gaz elle ↗
R! la viscosité du sang est elle même fonction du taux d hématies. Le tableau ci-dessous donc quelques valeurs du coefficient de viscosité
Liquide
|
T
|
η (PI)
|
Gaz
|
T
|
η (PI)
|
Eau
|
0
20
37
100
|
1,7.10¯³
10¯³
6,91. 10¯
2,62.10¯
|
Air
|
0
20
40
|
1,77. 10¯
1 ,8. 10¯
1,9.10¯
|
Exemple : Le fluide en repos ne bouge pas
Le fluide parfait s’écoule sans diminution de la hauteur
Le fluide réel s’écoule avec diminution de la hauteur
Le facteur responsable de l’écoulement est la viscosité
La pression d’un fluide réel diminue tout au long d’une canalisation dans laquelle il s’écoule même s’il est horizontale de section uniforme contrairement au théorème de Bernoulli
Le miel coule lentement et moins en moins vite que la surface s’étale
La lave est un fluide visqueux
2.Loi de poiseuille
elle décrit l’écoulement laminaire d’un liquide visqueux dans une conduite cylindrique
La loi de poiseuille énonce de façon théorique la relation entre le débit d’un écoulement et la viscosité du fluide la différence de pression aux extrémités de la longueur et le rayon de cette canalisation
Entre un point A et B situé sur une même horizontale on a
Pa + ρ .g.za + ρ. va² = Pb + ρ .g .zb + + ρ. vb² + ∆P
∆P la chute de pression entre A et B est due à un seul effet « la viscosité » ∆p > 0
∆p : caractérisée que l’on appelle la porte de charge
Le niveau de fluide dans les conduites verticales situé au-dessus de A et de B est donc différent le diamètre est faible
Si A et B sont distants de l on définit la perte de charge linéaire pour une canalisation de section S constante 
Un écoulement de poiseuille est un liquide qui obéit a la loi de poiseuille
Calcule de la perte de charge 
Tuyau cylindrique fluide en régime permanent
Aucune accélération sur le volume de fluide
Somme des forces qui exerce sur celui-ci est nulle
Ce cylindre est soumis
à la résultante des forces de pression  a + b sur les forces A et B
A = PA  B= PB
à la résultante des forces de viscosité sur la paroi latérale
v =η . S  = η . 2. η . 2.
-en projection sur l axe des x
(PA – PB )  ² + η . 2. =0
Comme v(r) =0 pour r=a=cst=
Calcule de débit total
D=V(r) .2
D=  D= -  ) =  
D=  .  Cette relation est la loi de poiseuille
 D D=
D est proportionnel au rayon à la puissance et inversement proportionnel a η et l
Resistance hydraulique 
VA – VB = R.i
L’intensité du courant i =
Des résistances d’un conducteur cylindrique de longueur l de section S et de résistance ρ
R= =
Si on compare a Rh=  On constate que les deux pressions R et Rh sont proportionnelles à l et semblent jouer des rôles analogues
Conséquence de cette analogie
Les résistances hydrodynamiques de 2 à 3 canalisations placées en série s additionnent
Placées en dérivation
Le régime laminaire et turbulent
Le régime laminaire = v est indépendante du temps V et ordonnée
Le nombre de Reynolds Rc est un paramètre sans dimension permettant de distinguer les 2 régimes d écoulements :
Pour une conduite cylindrique de diamètre d on a Rc=ρ 
V : la vitesse du fluide ; ρ: masse volumique ; η : le coefficient de viscosité
Remarque : Rc<2000 → le régime est très souvent laminaire
Rc<3000 →le régime est très souvent turbulent
2000 < Rc <3000 → le régime est transitoire
La vitesse critique frontière 
V < vc → R laminaire
v> vc → R turbulent
Remarque limites expérimentales SI :
Rc < 2400 écoulement laminaire
Rc>10 000 écoulement turbulent
Exercice quels sont les régimes d’écoulement au niveau d’une valve aortique dans les 2 situations suivantes
situation1 : d=20 mm et vitesse d′ éjection V= 0.4m/s
Situation 2 : d= 15 mm V= 4m/s
On donne η=4.10¯³ kg .m¯¹ et ρ= 103 kg .m¯³
Solution, :
Régime d’écoulement ?→nombre de Reynolds R = ρ d v / h?
Rappel R < 2400 : écoulement toujours laminaire
R > 10 000 : écoulement toujours turbulent
1- Rc= (103 x 20.10¯³ x 0,4) / 4.10¯³ = 2.10³ = 2000 → laminaire
2- Rc= (103 x 15.10¯³ x 4) / 4.10¯³ = 15.10³= 15000 → turbulent
R : le nombre de Reynold est sans unité
Application du changement de régime
L’écoulement turbulent est plus bruyant → éléments du fluide viennent frapper la paroi
Mesure de la pression sanguine → un brassard pneumatique
Il va créer une surpression par la compression d’une poche d’air le long de l’artère humérale
On laisse se dégonfler progressivement la poche d’air → la pression < Psys
L’artère est le siège d’un écoulement très bref turbulent à grande vitesse qui se manifeste par un bruit caractéristique à l’auscultation
La pression continue de baisser →l’écoulement redevient laminaire et le bruit cesse lorsque l’artère redevient complètement libre ceci correspond à la pression diastolique
Disparition du bruit = diastolique
Apparition du bruit systolique
Évolution de la vitesse du sang au fil de la circulation
l’écoulement sanguin dans une aorte v
v1 ; d1 = 2.3 cm ; S1 =  ; D1 = s1.v1 = 4.8 l/mm
au niveau capillaire débit
N= 6. 10⁹capillaire d= 8 cm S2=  vcap = v2
D1=S1.V1 → V1= = 20cm/s
Comme le débit est constant D1=N.D2
D1=N.D2 on a S1.V1= N.S2.V2 → v2= 
V1=  v2= 0.03 cm/s
Petit diamètre et grand nombre de capillaire
L équations de continuité des débits D1=N.D2
Conduit à une vitesse d’écoulement sanguin très lente au niveau capillaire de l’ordre d’un tiers Mm/s
Ceci favorise les échanges gazeux à ce niveau
Apparition de souffle par la turbulence
Apparition des souffles par la turbulence
Un écoulement ρ. η s’écoulant dans un vaisseau de d à v est dit turbulent
Rc= > 2400→ v>vc=
Le choc des molécules de liquide sur les parois du vaisseau → des sons audibles (par stéthoscope)
Vc conditionne le passage à un régime turbulent
Dans l’aorte dans des conditions normales v = 20 cm/s < vc=30 cm/s Le régime est laminaire
Le cas des + petits vaisseaux où v diminue et où vc augmente puisque d diminue la circulation normale n’est pas audible
Plusieurs situations non physiologiques peuvent conduire à l’audition d’un souffle conséquence à un passage en régime turbulent
Conséquences du passage en régime turbulent
Anémie η sanguine dépend de son hématocrite Si ce dernier ↘ η et vc ↘
Une anémie entraine de + secondairement une↗ du débit sanguine donc v
Ces 2 phénomènes contribuent à rendre le sang turbulent ce qui crée un soufflé cardiaque audible à l’auscultation
Sténose vasculaire
D=S.V → v↗ au niveau de la sténose S↘ →souffle audible a l’auscultation
Utilisé dans un brassard à tension → un soufflé d’écoulement turbulent est entendu à celle de la pression artérielle systolique
Et celui ou la pression exercée par le brassard devient inferieure à la pression artérielle diastolique Permettant alors le retour à un écoulement laminaire
Communication artéro-veineuse ↗ de v d’écoulement peut conduire à un soufflé audible à l’auscultation
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