L'enseignement des fractions base sur la loi de la correspondance morphique de deux systemes dans la formation des connaissances





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date de publication20.05.2017
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L'ENSEIGNEMENT DES FRACTIONS BASE SUR LA LOI DE LA CORRESPONDANCE MORPHIQUE DE DEUX SYSTEMES DANS LA FORMATION DES CONNAISSANCES.
Dans l'acquisition des connaissances l'élève doit toujours s'appuyer sur des actions directement expérimentables afin d'aller vers la nouvelle structure à apprendre. Cette nouvelle structure prendra toute sa signification d'une part, quand l'élève anticipera un résultat long à obtenir par les anciennes méthodes, et d'autre part, quand il l'utilisera afin de résoudre d'autres problèmes isomorhiques. (*)

RUBEN RODRIGUEZ HERRERA


1 Introduction

    1. La loi de correspondance morphique dans la structuration d'une nouvelle connaissance.


Quand nous avons abordé, dans nos premiers travaux, la didactique des mathématiques, (voir bibliographie n° 1), nous avons constaté un principe général des lois de l'apprentissage. Il s’agit d'un principe qui permet de modéliser le phénomène naturel qui se produit quand on met en correspondance deux ou plusieurs domaines de connaissance.

Par exemple, quand un enfant tout petit marche vers un objet, celui-ci occupera de plus en plus le champ visuel, simultanément, si l'objet émet un son, celui-ci deviendra de plus en plus fort. L'odeur de l'objet sera de plus en plus perceptible. S'il est chaud l'enfant le ressentira de plus en plus cette chaleur et bien d'autres informations évolueront au fur et à mesure que l'objet devient proche. C'est notre biologie qui organise les informations reçues par les divers canaux afin de les structurer et de permettre des anticipations. Un exemple important est la structure de transitivité de la relation d'ordre. L'enfant organise très tôt le réel avec des relations du type : plus grand, plus lourd, plus chaud, plus loin …Si un enfant constate qu'un objet est plus lourd qu'un deuxième et celui-ci plus lourd qu'un troisième, il est vite capable de les ordonner et anticiper la relation entre le premier et le troisième.

Il s'agit, dans cette activité de coordination générale, d'une structuration de plus en plus complexe des informations. Des véritables opérations se produisent, par exemple deux objets inaccessibles de même nature qui se trouvent proches dans une l'image visuelle, comme par exemple deux arbres ayant la même taille dans cette perception ; ils seront assimilés à deux objets proches et de même taille dans la réalité. La voix de la maman perçue avec une faible intensité sera interprétée comme une information indiquant un éloignement dans l'espace. On peut trouver d'innombrables exemples qui témoignent de cette organisation des informations dans des structures stables de connaissance.

Un autre aspect fondamental dans la structuration du réel est celui de la fonction de représentation. Quand l'enfant se trouve pour la première fois confronté à la résolution d'un problème, il agira pour structurer les informations afin de trouver une solution. S'il réussit à le résoudre, alors, quand il se trouvera face à un problème perçu comme étant isomorphique, les objets du premier problème, agiront comme signifiants porteurs d'une analogie pour guider les opérations nécessaires à la résolution du deuxième problème. C'est ainsi en résolvant des problèmes isomorphiques, qu'un système de représentation générale, devient nécessaire et naturel. Quand l'individu maîtrise le système représentatif des problèmes isomorphiques, il devient capable de travailler à l'intérieur du système, et même, le système peut devenir objet d'étude. Par exemple quand l'enfant fait rouler des boules particulières et qu'il ne peut pas faire pareil avec un cube, il assimile cette propriété à cet ensemble des boules. Plus tard il sera capable d'attribuer cette propriété à l'ensemble des boules et il les identifiera, entre autres, par cette propriété caractéristique. Il peut plus tard, se poser d'autres problèmes, comme par exemple: une boule plus petite qu'une autre doit rouler plus de fois sur elle même que la boule plus grosse pour parcourir le même trajet. Quand on réalise des activités avec des "disques" et des "carrés" fabriqués en carton dur on trouve des correspondances morphiques avec les boules et les cubes, par exemple si on réalise des opérations de juxtaposition avec les carrés on peut aussi faire des assemblages de deux cubes, les boules et les cercles peuvent être mis en contact de façon bien différente. C'est ainsi que la notion de surface plane ou de segment, pour les faces du cube et les côtés du carré est mise en évidence par différence avec les surfaces courbes et les arcs de cercle de la boule et du disque La représentation des boules sur une feuille par des cercles trouve un sens pour l'élève dans la mesure où il a travaillé sur les morphismes entre la géométrie "plane" et la géométrie "spatiale". Les cercles agissent ici, comme représentants sur une feuille plane, des boules de l'espace; mais, ils peuvent aussi, devenir sujet d'étude. Par exemple, comme le lieu de la trace du crayon du compas quand on le fait tourner autour de sa pointe.

Dans la formation des connaissances il y a un impératif incontournable: les individus manifestent la nécessité d'établir des progressions dans les degrés de signification d'une notion. On ne peut pas trouver la vraie signification d'un système de représentation des problèmes isomorfiques, si ces problèmes n'ont pas été vécus auparavant, et si la nécessité de construire ce système ne s'est pas ressentit.

Dans l'enseignement des mathématiques il est important de tenir compte de ces principes si l'on veut que les élèves s'approprient des problèmes et qu'ils construisent leurs connaissances. Pour cela il faut veiller à proposer des activités qui partent de leurs actions directement expérimentables, (c’est à dire qu’il s'agit des actions automatisées qui ne demandent pas de réflexion nouvelle) et qui permettent une entrée rapide sur des questions qui vont susciter une structuration nouvelle Plus tard on proposera d'autres problèmes isomorphiques se prêtant moins à une modélisation immédiate mais, qui seront assimilés plus facilement si les élèves ont bien intégré l'étape précédente.

Dans le prochain paragraphe, nous allons développer une progression sur l'enseignement des fractions qui tient compte des principes énoncés et qui a fait ses preuves avec des élèves de l'école primaire ainsi que des élèves en difficulté du collège.

2 Activité sur une correspondance morphique simple

Nous avons dit que dans l'apprentissage d'une notion, il faut ordonner les activités où celle-ci est présente par un ordre qui tient compte de la difficulté à modéliser et représenter morphiquement les actions réalisées.

Pour réaliser un ordre, il faut absolument tenir compte des systèmes déjà acquis par les élèves et qui vont constituer le potentiel permettant un démarrage rapide de l'activité.

Dans les innombrables activités où les fractions constituent la structure qui modélise le problème, nous en avons trouvé une qui présente l'avantage de permettre aux élèves du cycle III de l'école primaire de réaliser facilement des actions directement expérimentables et de modéliser rapidement ces actions.


    1. Les fractions, une structuration simple sur la comparaison des longueurs


Matériel: bandes de papier découpées le long de feuilles A4, de différentes couleurs, blanc, rouge, jaune, vert,… ayant une largeur de 2,5cm
Première séance
a) première phase

On découpe avec les élèves des bandes de couleur blanche de 12cm de longueur, pour cela ils investissent des connaissances géométriques: par exemple mesurer les 12cm sur chaque bord en partant de la gauche, on trace un trait sur chaque bord, ensuite un segment dont on vérifie à l'équerre qu'il est perpendiculaire aux bords de la bande. Il est important que chaque élève fabrique une dizaine de bandes blanches superposables.
b) deuxième phase
On donne aux élèves des bandes de couleur bleue avec la commande de fabriquer des bandes superposables entre elles et telles que deux bandes bleues juxtaposées dans le sens de la longueur soient de même longueur qu'une bande blanche.

Deux stratégies sont étudiées. Une qui consiste à découper une bande bleue superposable à une bande blanche, ensuite la plier en deux parties de même longueur pour faire un découpage et finalement vérifier qu'elles sont superposables entre elles et que juxtaposées on obtient la même longueur qu'une bande blanche. Une autre est de mesurer 6cm à partir de la gauche et faire une procédure analogue à celle de la fabrication des bandes blanches.

Les élèves construisent une dizaine de bandes bleues.

On fait verbaliser les élèves pour qu'ils expliquent leurs constructions. Ceci est fait pour constater que les élèves réalisent bien un morphisme entre les actions réalisées et les expressions utilisées. Par exemple si un élève dit qu'il a coupé en deux parties, on le fera réfléchir sur le fait qu'il a coupé en deux parties de même longueur ou superposables. C'est à ce moment qu'on introduit un système symbolique qui résume les actions réalisées.

Comme il faut deux bandes bleues pour une bande blanche, on écrira sur les bandes bleues 1/2 et sur les bandes blanches 1

On dit aussi qu'une bande bleue a la moitié de la longueur de celle d'une bande blanche. On dit aussi que deux bandes bleues réunies ont la même longueur que celle d'une bande blanche. Quand un élève dit "deux bleues c'est pareil qu'une blanche" on le fait préciser pour qu'il explicite bien le sens de sa phrase. Le but est de le faire travailler l'isomorphisme entre l'opération réalisée avec les bandes et l'opération respective dans la langue française.

c) troisième phase

On donne des bandes de couleur rouge et on demande à une partie des élèves de construire des bandes "rouges" superposables entre elles et telles que quatre bandes rouges juxtaposées dans le sens de la longueur soient exactement de même longueur qu'une bande blanche. On demande aux autres élèves de construire des bandes de couleur rouge superposables entre elles et telles que deux "rouges" juxtaposées aient la même longueur qu'une bande "bleue".

L'activité fait réinvestir les procédures précédentes pour les élèves qui travaillent avec les "bleues" et les "rouges", (pliage en deux parties superposables), et pour les autres élèves par moitié de la moitié d'une "blanche" soit par deux pliages successifs ou par deux divisions 12:2=6 suivie de 6:2=3 ou d'une division 12:4=3

On constate que les deux groupes arrivent à des bandes "rouges" superposables.

On écrit sur les "rouges" le symbole qui indique que quatre bandes "rouges" juxtaposées ont la même longueur qu'une bande "blanche".

On dira aussi que chaque "rouge" a pour longueur "un quart" de la longueur d'une "blanche".

Remarque : le fait qu'on utilise les élèves utilisent le symbole 1/4 pour rendre compte de la relation entre les blanches" et les "rouges" montre que le système symbolique commence à devenir un système de signifiants qui sert à rendre compte de la structure fractionnaire des "bandes".

On fait verbaliser les élèves pour obtenir des affirmations isomorphiques à la structure mise en place.

"la "rouge" est de longueur moitié de la "bleue"

"la rouge est de longueur "un quart" de la longueur d'une "blanche"

"la "bleue" est de longueur "une moitié" de la longueur d'une "blanche"

et une affirmation qui se produit au même niveau d'abstraction que le système symbolique:

"la moitié d'une moitié d'une longueur est égale au quart de cette longueur"

Cette dernière affirmation est réinvestie au niveau du système symbolique?

On donne des longueurs "abstraites», par exemple 12cm; 24cm; 20cm; 8cm; 36cm et on demande de calculer directement 1/4 , de calculer 1/2 de 1/2 et de présenter les calculs dans un tableau.

longueur donnée 1/4 de la longueur 1/2 de 1/2de la longueur

12cm 12cm:4 = 3cm (12cm:2):2 = 6cm:2 = 3cm

24cm 24cm:4 = 6cm (24cm:2):2 = 12cm:2 = 6cm

20cm 20cm:4 = 5cm (20cm:2):2 = 10cm:2 = 5cm

8cm 8cm:4 = 2cm (8cm:2):2 = 4cm:2 = 2cm

36cm 36cm:4 = 9cm (36cm:2):2 = 18cm:2 = 9cm
Remarque : nous avons choisi des valeurs entières et multiples de 4 afin de rester toujours chez les nombres entiers. On ne veut pas encore traiter des calculs qui nécessitent des décimaux non entiers. Par contre on convie les élèves à travailler sur la généralité de cette structure, par exemple on montre une tige en bois, (non pliable!) et, on demande aux élèves d'expliquer une procédure pour fabriquer une tige mesurant en longueur 1/4 de celle de la tige donnée.

On a placé volontairement les élèves sur le système des signifiants pour qu'ils l'utilisent comme un anticipateur des "actions directement expérimentables".
Deuxième séance
a)première phase
Avec des bandes de couleur jaune on propose de réaliser de bandes sur lesquelles on puisse écrire 1/3 par rapport à la "blanche".

On est dans l'activité réciproque de celle de la première phase de la première séance. C'est ainsi qu'on demande aux élèves d'expliquer la consigne afin de s'assurer que le système symbolique fonctionne bien comme un signifiant.

Les élèves expliquent qu'il s'agit d'obtenir de bandes "jaunes" ayant la même longueur entre elles et tells que trois "jaunes" juxtaposées aient la même longueur qu'une "blanche".

On analyse avec les élèves la difficulté de réaliser la tache par pliage et on conclut que le plus convenable est de diviser 12cm par 3 . C'est ainsi qu'on fabrique des bandes de longueur 4cm . On écrit sur chacune d'elles 1/3

Remarque : ici on a encore anticipé le résultat des actions directement expérimentables, (les pliages), par un calcul dans le système symbolique.

Il devient de plus en plus "concret", c'est à dire de plus en plus en fonctionnement autonome, comme un objet en soi.
b) deuxième phase
O se dirige vers des activités posées dans le système symbolique et résolues par l'isomorphisme dans le système des actions directement expérimentables.

On s'intéresse à des questions comme la relation d'ordre entre 1/2, 1/4, 1/3.

Pour répondre on utilise le morphisme avec les bandes "bleues", "rouges", "jaunes".

Les élèves constatent que la bande 1/2 est de plus grande longueur que la bande 1/3 et celle-ci de plus grande longueur que la bande 1/4

On verbalise avant de passer au système symbolique sur cette relation constatée expérimentalement. Le but est de travailler sur des explications morphiques. Par exemple, si deux "bleues" ont la même longueur qu'une "blanche" et trois rouges ont la même longueur qu'une blanche alors une "bleue" est plus longue qu'une "rouge"; ou bien si on partage une "blanche" en trois parties égales on obtient une partie de plus petite longueur que si on partage la blanche en deux parties égales.

On écrit alors que

1/3 < 1/2 , que 1/4 < 1/3 et que 1/4 < 1/2
c)troisième phase
On continue de travailler sur le morphisme entre le système symbolique et celui des actions avec les bandes afin d'arriver à des égalités du type :

1/2 + 1/2 = 1

1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

Aussi :

1/4 + 1/4 = 1/2

Toutes ces égalités sont validées avec les bandes et l'isomorphisme.

On profite à ce moment de l'apprentissage de la richesse du système symbolique qui devient de plus en plus autonome pour étudier 1/5 sans construire des bandes respectives. Cette étape est importante dans la mesure où les élèves donneront des explications sans passer par des actions directes.

On pose la question : 1/5 sera-t-elle plus petite que 1/4,1/3, 1/2 ?

Et la question : combien des bandes 1/5 auront la même longueur qu'une bande "blanche"?

On étudie de même les questions analogues pour 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10

Ce travail sert à la fois de support d'évaluation pour constater que les élèves expliquent de plus en plus à l'intérieur du système symbolique.
Remarque : on voit à travers cette progression de l'apprentissage la relation dialectique entre un "système des actions directement expérimentables" et un système de représentation symbolique. Au départ le système symbolique est très proche des actions et peu à peu il devient une structure en elle-même. C'est ainsi qu'on propose des activités à réaliser exclusivement dans le système symbolique, par exemple :

Soient 1/10 et 1/20 , écrire à l'aide du symbole < la plus petite à gauche et la plus grande à droite. Ou bien : soit 1/10 < 1/ , écrit un nombre qui va bien dans la place vide.

Dans ce dernier exemple il est important de trouver plusieurs solutions.

On peut aussi les ordonner de la plus petite à la plus grande.



  1. Activité sur une deuxième structure morphique


3.1 Une structure avec des disques
Matériel: disques en papier de 6cm de rayon tous en couleur blanche une douzaine par élève; les disques sont fournis par l'enseignant.
Commentaire : dans la suite des activités nous n'avons pas continué sur les bandes pour fabriquer des bandes 1/5afin d'éviter de poser la division 12/5 qui nous conduit à des problèmes relatifs aux nombres décimaux ou bien à des changements d'unité, 12cm = 120 mm pour effectuer 102mm : 5 = 25mm par contre ce calcul est très utile comme moyen de valider le système des nombres décimaux à travers des morphismes avec le système des fractions.

Dans cette troisième séance on utilise un autre morphisme de la même structure des fractions avec une autre structure différente des bandes.

La vertu de l'activité avec des bandes réside dans la simplicité à modéliser. Cette simplicité ne se trouve pas immédiatement dans d'autres situations qui sont en isomorphisme avec la structure des fractions.

Le problème didactique est de trouver une autre situation un peu moins simple mais qui est rapidement assimilable par morphisme à la structure des fractions établie précédemment. Nous avons proposé une activité avec des disques superposables.
Première séance


  1. première phase


On propose de réaliser par pliage et découpage deux parties superposables entre elles et telles que juxtaposées forment une surface superposable à un disque.

Ceci est un pliage facile à réaliser, on obtient ainsi deux demi-disques. On convient d'écrire 1 sur le disque et on demande aux élèves quelle sera la fraction à écrire sur chaque demi-disque.

On écrit alors 1/2 sur chaque demi-disque avec une orientation de l'écriture vers le centre du disque en recto-verso, ceci afin d'obtenir deux demi-disques parfaitement "identiques".

Les élèves investissent la structure précédente des fractions car ils reconnaissent bien un morphisme.


  1. deuxième phase


On demande de plier le disque pour obtenir des parties sur lesquelles on puisse écrire 1/4

Les élèves réalisent le pliage en deux et ensuite en deux et ils écrivent après le découpage le symbole 1/4 encore bien orienté vers le centre du disque et en recto-verso.

On profite pour vérifier que le quart de disque est la moitié du demi-disque.
c) troisième phase
On propose de découper en trois parties superposables entre elles et telles que juxtaposées forment un disque.

Deux possibilités s’offrent à l’enseignant.

1) Utiliser les quarts de disque et aussi la connaissance des angles de l’équerre du type 90° ;30° ;60° et alors par le calcul de 360° :3=120° on construit un angle au centre d’un disque de 120°. Cette possibilité est bien plus active pour les élèves que la deuxième que nous vous présentons par la suite

2) On analyse avec les élèves sur la façon dont on avait fait le problème, (morphique), avec les bandes. On voit qu'il faudrait effectuer une division par 3. On arrive à la solution de prendre une ficelle et d'entourer le disque, (l'enseignant propose alors un disque superposable aux autres, en bois, avec une épaisseur suffisante pour permettre l'entourage) et ensuite de mesurer la longueur de la ficelle et de diviser par 3. On choisit de travailler la mesure en mm afin de marquer le plus exactement que possible, deux petits traits sur la ficelle, qui partagent celle-ci en trois parties de même longueur.

Ensuite la ficelle est enroulée à nouveau sur le disque et on marque trois traits, l'un avec le début et fin de la ficelle et les deux autres avec les traits tracés auparavant.

Le disque en bois est alors utilisé pour marquer les trois traits sur chaque disque des élèves. L'enseignant peut apporter à ce moment cinq ou six disques marqués à l'avance afin d'avancer plus vite.

Une fois que les élèves ont marqué les trois traits on le fait réfléchir sur une procédure efficace pour obtenir les trois secteurs de disque. On retient alors l'idée de faire des pliages en deux parties (demi-disques), telles que les plis se fassent juste sur chacun de trois traits.

On obtient ainsi le centre du disque et les trois secteurs superposables.

On note 1/3 sur chaque secteur.

Commentaire : dans cette troisième séance on va de la signification du système symbolique vers les opérations respectives dans la structure fractionnaire des disques et secteurs.

On constate que le morphisme fonctionne bien et qu'on peut vérifier des relations "connues". par exemple: 1/2 > 1/3 ; 1/3 > 1/4

On trouve aussi que 1/4 + 1/2 c'est pareil que 1/4 + 1/4 + 1/4

C'est ainsi qu'on propose de fabriquer d'autres secteurs, en utilisant l'assemblage de secteurs.


  1. Activité sur la structure symbolique des fractions




    1. Vers des opérations d'addition des fractions


Quatrième séance
a)première phase

Cas d’addition 1/3 + 1/3

Dans ce cas les élèves construisent des bandes respectives à 1/3+1/3 par juxtaposition dans une autre couleur, par exemple vert claire. Ensuite ils le retournent et cherchent à voir combien des ces bandes correspondent, (par juxtaposition et superposition), à combien des bandes blanches unités. Ils trouvent par manipulation que 2 « blanches » c’est pareil que 3 « vert claire » et alors tout naturellement les élèves écrivent 2/3 C’est ainsi qu d’un côté ils ont trouvé 1/3+1/3 et de l’autre 2/3 la conclusion est que 1/3+1/3 = 2/3

Commentaire : ici nous avons un fait important en didactique :

Si on dit en français que « un tiers plus un tiers est égal à deux tiers », les élèves comprennent ceci au même titre qu’ils ont compris que « une pomme plus une pomme est égal à deux pommes ». On utilise ici le fait que « un objet plus un objet de la même catégorie est égal à deux objets de cette même catégorie » Mais, si l’enseignant croit qu’il peut écrire ensuite au tableau que : 1/3 + 1/3 = 2/3 il fait inconsciemment une « rupture du contrat didactique » dans son enseignement des fractions. En effet si on veut donner du sens à chaque symbole fractionnaire de la forme a/b, il faut absolument que 2/3 prenne le sens dans la manipulation avec les bandes, afin de trouver que deux bandes « blanches » (unités), sont superposables avec trois bandes « vert claire ». Tant que les élèves n’ont pas effectué la manipulation on ne peut pas écrire au niveau des symboles que 1/3 + 1/3 = 2/3

Quand dans l’enseignement des mathématiques , à propos du sens donné au départ à un symbole nouveau , on fait un raccourci, sans que les élèves puissent le valider on dit qu’il y a un phénomène de rupture de ce « contrat didactique ». Implicitement et inconsciemment l’enseignant installe un autre « contrat didactique », on « apprends » que 1 /3 + 1/3 s’écrit 2/3 seulement par une règle apprise formellement sans que ceci corresponde aux manipulations qui donnaient du sens au symbole fractionnaire.


On fait un autre exemple de manière similaire avec 1/4+1/4+1/4 = 3/4
On part du fait que les élèves ont bien intégré que 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4

et à l'aide des bandes on fabrique des bandes nouvelles, (dans d'autres couleurs).

5/4 comme 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 ou bien comme 1 + 1/4 en couleur orange

On passe alors à un travail exclusivement dans le système symbolique pour réaliser

1/5 + 1/5

1/5 + 1/5 + 1/5

1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3

et bien d'autres additions de termes de même dénominateur.

Remarque : bien que les élèves travaillent à l'intérieur du système symbolique ils ont suffisamment d'images mentales avec des bandes ou des disques pour valider des égalités comme par exemple : 1/2 = 1/2 = 1; 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 ; 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1, mais il est trop tôt pour écrire à la place de 1 la fraction 1/1

Commentaire : nous avons réfléchit à des fractions supérieures à 1 dans la structure des bandes. On ne doit pas à ce stade de l'apprentissage réfléchir sur ce même problème dans la structure des disques. Avec des bandes on obtient toujours des bandes de même largeur, mais avec les disques et les secteurs on n'obtient plus des disques pour les fractions supérieures à l'unité, (une fraction comme 5/4 ne donne plus un disque et le morphisme ne se situe plus entre les actions directement expérimentables et la structure symbolique, mais à un niveau où on construira un autre système de représentation avec des disques qui peut paraître artificiel).

Dire que par exemple 3/2 est représentée par l'image d'un disque et un demi-disque est une activité où on se sert de la structure des fractions pour donner du sens à l'image géométrique
b) deuxième phase
On pose le problème suivant :

Combien des bandes 3/4 et de bandes 1/2 pour obtenir des longueurs égales ?

Les élèves constatent que 3/4 + 3/4 c'est pareil que 1/2 + 1/2 + 1/2

et comme on sait écrire que 3/4 + 3/4 = 6/4 et que 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2 les élèves écrivent que 6/4 = 3/2

Ils verbalisent en disant que 2 fois 3/4 c'est égal à 3 fois 1/2

On cherche par la suite d'autres égalités construites de cette façon.

Par exemple 3 fois 2/3 c'est pareil que 2 fois 1 et on écrit que 6/3 = 2

On passe alors à un travail à l'intérieur du système symbolique pour renforcer la validité des égalités trouvées

Exemples:

3/4 + 3/4

c'est pareil que (1/4 + 1/4 + 1/4) + (1/4 + 1/4 + 1/4)

et comme 1:4 + 1/4 = 1/2

on peut faire alors

(1/4 + 1/4) + ( 1/4 + 1/4) + (1/4 + 1/4)

c'est à dire pareil que

1/2 + 1/2 + 1/2

qui fait 3/2

Commentaire : cette dernière partie n'exclue pas que des élèves ayant des difficultés avec les parenthèses puisent se servir des bandes pour effectuer le morphisme qui leur permet de valider les calculs symboliques.


  1. troisième phase


On traite quelques problèmes un peu plus difficiles, mais toujours avec la possibilité pour tous les élèves d'avoir recours à des bandes pour s'aider à comprendre les calculs.

On pose par exemple ; combien de fois 2/3 et combien de fois 3/4 pour obtenir une égalité ?

Avec les bandes on trouve que 9 fois 2/3 est égale à 8 fois 3/4

Avec le système symbolique on écrit un tableau

Nombre de fois de 2/3 Nombre de fois de 3/4

2/3 + 2/3 + 2/3 = 6/3 = 2 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4 = 12/4 = 3

(2/3 + 2/3 + 2/3) + (2/3 + 2/3 + 2/3) = (3/4+3/4+3/4+3/4) +(3/4+3/4+3/4+3/4)=

2 + 2 = 4 3 + 3 = 6

alors on fait

(2/3+2/3+2/3)+(2/3+2/3+2/3)+(2/3+2/3+2/3)

pour obtenir 6 et on compte le nombre de fois de chaque partie du tableau

on arrive ainsi à montrer que 9 fois 2/3 c'est égal à 8 fois 3/4

On profite pour voir qu’en tout on a 18/3 qui est égale à 6 et d'autre part on a 24/4 qui est aussi égal à 6


  1. Activité sur une troisième correspondance morphique avec la structure des fractions


Cinquième séance


  1. première phase


Avec des flacons identiques petits et cylindriques on pose la question suivante : on prend un flacon et on fait un trait bleu à une hauteur déterminée. On se pose le problème de tracer un trait rouge dans un flacon tel qu'on sera sûr que le liquide jusqu'au trait rouge sera la moitié du liquide jusqu'au trait bleu;

Cette situation sert à réinvestir la structure de fractions sur une autre structure assimilée de façon isomorphique.

Les élèves trouvent que pour réaliser l'isomorphisme on doit se servir de l'isomorphisme avec les hauteurs des traits des flacons.

C'est ainsi qu'ils proposent de diviser par 2 la hauteur d'un trait bleue et ainsi tracer le trait rouge.


  1. deuxième phase


On réfléchit à des égalités entre les flacons

2 flacons "rouges" = 1 flacon bleu

4 flacons "rouges" = 2 flacons "bleues"

6 flacons "rouges" = 3 flacons "bleues"

on complète alors un tableau

bleues 1 2 3 4 5 6 7 8

rouges 2 4 6 8 10 12 14 16
le but et d'exprimer que 1 bleue pour deux rouges correspond bien à 1/2 de bleue pour 1 rouge et que ce phénomène peut s'écrire comme 1/2 ou 2/4 ou 3/6 …

Les élèves retrouvent ici que 1/2 = 2/4 = 3/6 =:8 + 5/10 = …

Remarque : on travaille ici sur une des fonctions de la structure des fractions d'un même nombre rationnel. Elle représente une co-variation proportionnelle, qui n'est pas autre chose qu'une correspondance linéaire ou un isomorphisme additif,

par exemple :


  1. correspond avec l'image 2

  2. correspond avec l'image 4

  3. correspond avec l'image 6

et 1+2=3 vérifie que l'image de la somme 1+2 ,(c'est à dire 6 qui est l'image de 3), est la somme des images, c'est à dire 2+4.


  1. Activité sur l'utilisation des correspondances morphiques avec la structure des fractions afin d'anticiper des résultats


Première séance


  1. première phase


On a suffisamment travaillé sur trois structures morphiques avec la structure des fractions pour proposer maintenant des applications variées.

par exemple :

Soit une tige de longueur 240cm calculer la longueur d'une tige qui soit 1>/4 de la longueur donnée

Maintenant on veut fabriquer une tige de longueur 3/4 de celle donnée

Ce problème est tel que les deux étapes fixent les bases d'une procédure : pour calculer les 3/4 on commence par calculer le 1/4, en divisant par quatre et ensuit on multiplie par 3

On propose alors des exemples variés

2/3 de 24 litres

2/5 de 20kg

3/10 de 100km

etc


  1. deuxième phase


On propose des calculs qui utilisent deux procédures

par exemple

Combien en cm vaut 1/2 de 1/3 de 36cm ?

le but est d'arriver à montrer que la moitié d'un tiers est pareil qu'un sixième

D'autres problèmes similaires seront aussi traités

par exemple 1/2 de 1/2 de 40 litres pour trouver que c'est pareil que 1/4

de même on réfléchit au fait que 1/2 de 1:3 c'est pareil que 1/3 de 1/2

Commentaire : ces activités préparent la structure des fractions pour le travail ultérieur sur des opérations comme la multiplication.

Ceci prépare aussi à des morphismes qui seront utilisées lors des chapitres des nombres décimaux pour valider les calculs avec ces derniers.

par exemple :

1/2 x 1/2 = 1/4

0.5 x 0.5 = 0.25



  1. Conclusions


A travers l'exemple des quelques séquences d'introduction des fractions nous avons voulu montrer la notion de correspondance morphique entre les actions directement expérimentables et un modèle représentatif de celles-ci.

Nous avons montré que peu à peu le modèle qui trouvait sa signification seulement par la correspondance morphique avec une structure particulière, devient une structure en soi et qui peut être validée à l'intérieur du système symbolique.

D'autre part quand nous avons travaillé sur plusieurs structures morphiques, représentables donc par le même modèle nous avons vu l'importance de choisir d'abord une structure qui se prête bien à la modélisation.

Dans l'acquisition des connaissances mathématiques et aussi dans d'autres domaines l'utilisation des correspondances morphiques est essentielle pour structurer les données et les problèmes

(*) Un isomorphisme est une correspondance entre deux structures telle que toute opération réalisée entre deux éléments quelconques d’une structure correspond parfaitement à l’opération réalisée entre les éléments correspondants dans l’autre structure. On dit aussi que l’image du résultat d’une opération dans la structure A est le résultat de l’opération entre les images dans la structure correspondante B.



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