Programme de sciences physiques physique appliquéE





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µ §
Cas d’un système précis (Ecart nul) Cas d’un système non précis (Ecart non nul)

b) Stabilité
On dit qu'un système est stable si pour une entrée constante, la sortie reste constante quelles que soient les perturbations.
Les courbes 1 et 2 sont caractéristiques de la réponse d’un système stable : pour une entrée constante, la sortie évolue vers une sortie constante.
La courbe 3 est caractéristique d’un système instable, la sortie diverge.


c) Dépassement
µ §
Un critère efficient de la stabilité est le dépassement..
On définit le taux de dépassement par :
D% = µ § Dans l'exemple : D% = µ §=50%

d) Rapidité

La rapidité est liée au temps que met la sortie avant de se stabiliser. C’est la durée pendant laquelle la réponse évolue avant d’atteindre sa valeur définitive.

µ §
La réponse S1 est plus rapide que la réponse S2

e) Conclusion

Un système automatique (asservi ou régulé) est conçut pour satisfaire certaines performances  : rapide, stable et précis. Souvent ces performances sont contradictoires (dilemme) et généralement un compromis s’impose.

5. Correction des asservissements


a) Principe

On a vu précédemment que les systèmes asservis pouvaient présenter quelques défauts : une précision insuffisante, une stabilité trop relative (voire une instabilité), un temps de réponse trop élevé, une dépassement trop important.
Il est donc souvent nécessaire d’intégrer dans le système asservis un système appelé correcteur dont l’objectif est d’améliorer un ou plusieurs de ces différents paramètres sans bien sûr le faire au détriment des autres.
Le correcteur doit permettre de répondre au cahier de charges et de réaliser le meilleur compromis entre les spécifications (stabilité, précision et rapidité). lorsque celles-ci ne peuvent pas être satisfaites totalement


µ §


Les trois actions de correction possibles sont la proportionnelle P, l’intégrale I et la dérivée D.

On peut associer les différentes actions, on parle de correcteur PID.
Le correcteur va permettre d’intervenir sur la précision, le temps de réponse et la stabilité du système en boucle fermée.

L’intérêt du correcteur PID est d’intégrer les effets positifs des trois correcteurs, pour réduire l’instabilité, de conserver un gain élevé et d’obtenir un temps de réponse faible.


Action proportionnelleAction intégraleAction dérivée

En statique : diminue l’écart entre consigne et mesure si k augmente 

En dynamique : augmente la rapidité tant que le système n’est pas trop oscillant
En statique : élimine l’écart entre consigne et mesure ; donne une erreur de position nulle
En dynamique : diminue la rapidité et augmente l’instabilité

En statique : n’a aucun effet

En dynamique : augmente la rapidité grâce à son effet stabilisant

Exemples pour un système d’ordre 2

Système précis mais peu stable

m<1
Système stable mais temps de réponse lent

m > 1

Système stable et plus rapide mais manque de précision

m=1


Compromis entre stabilité, précision et rapidité

m = 0,707
6.3. Asservissements échantillonnés

1. Principe de l’asservissement numérique
Afin de mettre en oeuvre les asservissements en milieu industriel, l’usage d’outils informatiques

comme organes de contrôle des processus asservis est essentiel. C’est le cas par exemples des ordinateurs ou des microcontrôleurs qui peuvent, entre autre, assumer des fonctions de calculateurs numériques. Mais de tels instruments sont à base de composants électroniques (microprocesseurs, mémoires, ...) et fonctionnent avec des signaux binaires, porteurs d’informations numériques, on parle alors de signaux numériques. Se pose alors un problème fondamental, à savoir qu’un outil numérique ne peut s’accommoder de signaux analogiques, pourtant quasi exclusifs dans la majorité des systèmes physiques. En effet, le mode de traitement des informations imposé par un calculateur est de nature numérique et cadencé dans le temps de façon périodique grâce à une horloge. Le temps et l’amplitude du signal sont donc des grandeurs discrètes. Schématiquement, cela signifie que tout signal traité par l’ordinateur est une suite de nombres.

Les problèmes qu’il s’agit de résoudre pour le contrôle des processus continus concernent les points suivants :
(a) l’échantillonnage d’un signal continu : cette opération consiste à relever les informations prises par un signal continu à intervalle de temps régulier, appelé période d’échantillonnage. On parle alors de signal échantillonné. Cela signifie que le calculateur ne tiendra compte que des échantillons, c’est-à-dire des valeurs prises par le signal aux instants d’échantillonnage.

(b) la conversion d’un signal analogique en un signal numérique : il s’agit de convertir la valeur prise par un signal analogique à l’instant d’échantillonnage en une valeur numérique afin qu’elle soit traitée par le calculateur. Un tel signal peut, par exemple, provenir d’un capteur. On parlera alors de signal de mesure.

(c) la conversion d’un signal numérique en un signal analogique : cette opération consiste à transformer le signal numérique issu du calculateur à l’instant d’échantillonnage (on parlera de signal numérique de commande), en signal analogique de commande existant sur toute la période d’échantillonnage, l’objectif étant de commander le système physique.

(d) la synthèse d’un algorithme de calcul : il s’agit d’établir une loi d’évolution du signal de commande numérique en fonction des signaux de mesure et de référence, également numériques, afin de permettre au système asservi de satisfaire un cahier des charges. Cette fonction est appelée correcteur numérique ou encore loi de commande numérique. Elle a pour objectif de déterminer la valeur du signal numérique de commande à un instant d’échantillonnage, à partir des valeurs antérieures des signaux numériques de commande, de mesure et de référence. Concrètement, la loi de commande numérique s’exprime comme une relation de récurrence qui permet aisément son implémentation dans un calculateur numérique.
2. Structure d’un asservissement numérique

µ §

L’asservissement numérique se fait typiquement par le biais d’une structure schématisée par la figure 1.1 et composée des objets fondamentaux suivants :
1. un comparateur : celui-ci fournit un signal d’écart ƒÕ(t) qui réalise la différence entre le signal analogique de référence e(t) et le signal analogique de mesure m(t).

2. un CAN : celui-ci fonctionne à la période d’échantillonnage T > 0. Il fournit à sa sortie le signal numérique d’écart noté ƒÕn.

3. un algorithme de commande : celui-ci manipule des suites de nombres et a pour fonction d’élaborer la loi de commande. Il délivre donc le signal numérique de commande

4. un CNA : celui-ci fonctionne à la période d’échantillonnage T > 0. Il transforme le signal numérique de commande issu du calculateur en le signal analogique de commande correspondant.

5. des transmittances A(p) et C(p) représentant respectivement la dynamique du système et celle du capteur.
En pratique, l’opération de comparaison se fait également numériquement. Ainsi, une

autre structure typique d’asservissement peut être schématisée par la figure 1.2 où nous

pouvons remarquer la présence d’un CAN supplémentaire.
µ §
Dans toute structure d’asservissement est inséré un calculateur numérique réalisant, entre autre, les tâches de l’algorithme de commande. Un tel calculateur peut être à base de microprocesseurs et faire partie d’un microcontrôleur, d’une carte électronique dite d’acquisition et de traitement temps réel, type DSP, réalisant également les opérations de conversion.
Source : http://www.satie.ens-cachan.fr/automatique/PolyMaster-final.pdf
ƒ§ƒ|ƒn LE SOLIDE EN MOUVEMENT

7.1. Les systèmes mécaniques en mouvement
Force

Cause physique (de contact ou à distance) d’une accélération ou d’une déformation. Elle est représentée par un vecteur qui indique la direction, le sens et l’intensité (norme du vecteur). La force se mesure en newtons (N).
Moment d’une force

Produit d’une composante d’une force par la distance entre son point d’application et le pivot du mouvement.

Le moment est représenté par un vecteur perpendiculaire au plan formé par les vecteurs µ § et µ § et se mesure en newton.mètre (N.m).


µ §

µ §est perpendiculaire au plan formé par µ § et µ §.
Couple

Ensemble de deux forces de modules égaux et de sens contraires diamétralement opposés au point de rotation d’un objet. On appelle leur moment résultant le moment du couple.

Centre d’inertie

Le centre d’inertie peut être vu comme « le point d’équilibre » d’un objet.

Si on pouvait placer l’objet sur une aiguille en ce point, il resterait en équilibre.

On parle aussi de centre de masse ou de barycentre.

Dans l’étude des mouvements, un objet est souvent représenté simplement par son centre d’inertie.

Moment d’inertie

Grandeur scalaire J qui résume la répartition de masse d’un objet par rapport à un point (centre d’inertie par exemple) ou un axe (axe de rotation par exemple). Cette grandeur intervient dans l’étude du mouvement de l’objet. J est une caractéristique mécanique d’un système.
Le moment d’inertie d’un système par rapport à un point O ou un axe ƒ´ est la grandeur scalaire :

J s’exprime en kg.m2.

- pour n masses : µ §
- pour un solide : µ §

la somme s’étendant à toutes les masses élémentaires dm dont r est la distance à O ou ƒ´.

Exemples :

- un objet en mouvement à une vitesse donnée et possédant un grand moment d’inertie aura plus de mal à s’arrêter qu’un objet à la même vitesse mais possédant un moment d’inertie plus faible.

- un moteur utilisé en asservissement de position ou de vitesse doit pouvoir s’arrêter ou démarrer très facilement. Il devra posséder un moment d’inertie le plus faible possible. Cela implique un rotor de diamètre le plus faible possible et l’utilisation de matériaux légers pour sa fabrication.
Référentiel

Système de coordonnées, 3 spatiales et 1 temporelle, utilisé pour décrire un mouvement.

exemple : référentiel orthonormé
Référentiel terrestre

Référentiel lié à la Terre (à sa surface, au point d’observation).

Référentiel d’inertie ou référentiel Galiléen

Référentiel dans lequel, un corps libre (non soumis à des forces) au repos le reste indéfiniment.

Exemples :

Le référentiel défini par le centre de masse du système solaire et des étoiles fixes est un référentiel d’inertie , au degré de précision des mesures astronomiques.

Un référentiel lié à la Terre pourra être approximé à un référentiel d’inertie pour des objets ordinaires (voiture, projectile, balle, homme, ¡K)
Première loi de Newton : principe d’inertie

Dans un référentiel galiléen, un corps libre (non soumis à des forces) ou un corps dont la somme des forces qui lui sont appliquées est nulle, est :

- soit au repos (µ §)

- soit en mouvement rectiligne uniforme(µ §).
Vitesse

La vitesse est la distance parcourue en une seconde (m.s-1).


µ §en module µ §

Si on considère un très petit déplacement.


v est la dérivée de la positon

par rapport au temps.µ §v est tangent à la trajectoire et

dans le sens du déplacement.

Accélération

L’accélération a est la variation de vitesse par seconde (m.s-2)

a est la dérivée de la vitesse

par rapport au temps.µ §.

Seconde loi de Newton : loi de la dynamique (ou principe fondamental de la dynamique PFD)

La variation de vitesse d’un objet (l’accélération) fois sa masse est égale à la force (ou la somme des forces) exercée sur cet objet

µ §.

Moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe.

Un solide en rotation autour d’un axe à la vitesse ƒÇ (rad.s-1) et ayant un moment d’inertie J possède un moment cinétique définit par la relation :
module : µ §

direction : axe de rotation

Théorème du moment cinétique (pour un solide en rotation autour de son axe)

Ce théorème découle de la seconde loi de Newton appliquée aux objets en rotation.

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique µ § d’un solide en rotation est égale au moment résultant des forces appliquées au solide.

µ §

Mouvement uniforme

Dans un mouvement uniforme, le module de la vitesse est constant.

Les cas les plus classiques sont :

- le mouvement rectiligne uniforme (v = constante)
- le mouvement circulaire uniforme (Ă = cste).

On peut encore citer un train ou une automobile roulant à vitesse constante même dans les courbes du trajet.
Mouvement uniformément varié

Dans un mouvement uniformément varié le module de l’accélération tangentielle est constant.

On peut citer l’exemple de la chute d’un objet dans le champ de pesanteur terrestre (si on néglige les frottements dans l’air).


Source : http://c.divoux.free.fr/cim/
Etude de quelques mouvements « simples »

1) Objet à vitesse constante :
trajectoire rectiligne
D’après la 2ème loi de Newton (PFD), tout véhicule en mouvement, soumis à des forces dont la résultante est nulle, a une accélération nulle, donc roule à vitesse v constante :
v = v0 et (équation horaire, en intégrant v = µ § : ) x = v0 t + x0

v0 : vitesse initiale x0 : abscisse de la position initiale
trajectoire circulaire (exemple d’une pierre maintenue par une ficelle)
La vitesse angulaire ƒÇ est supposée constante et est liée à la vitesse v du centre d’inertie M parcourant la trajectoire circulaire, de rayon R, par : µ § (1)

D’autre part, on a ƒÇ = 2 ƒà n = 2 ƒàƒnƒ}ƒnƒÄƒn avec n = fréquence de rotation en tr/s et T = période de rotation
Le vecteur vitesse est tangent en M au cercle

Le vecteur accélération est radial et centripète et a pour norme µ § (2)

En effet, la seule force appliquée à la pierre (si l’on néglige son poids) est la tension µ § de la ficelle et, d’après la 2ème loi de Newton, l’accélération a est liée au module de µ § par la relation : T = m.a
Ă t

2) Objet de masse m en chute libre ( chute libre : solide soumis uniquement à son poids)
Le repère d'étude est un axe vertical Oz, orienté vers le haut.

L'origine des altitudes est le sol.

L'origine des temps est l'instant du lancer.
La seule force s’exerçant sur un corps en chute libre est le poids P = mg

µ §ƒn se réduit à µ § „± µ §ƒn

Conclusion : L’accélération d’un corps en chute libre est égale à µ § (vertical, orienté négativement)

Posons : V0 : vitesse initiale ; z0 : altitude initiale

La résolution de l’équation différentielle µ §= -g s’effectue sans difficulté :

vitesse à l’instant t : µ §= V = -gt +V0

altitude à l’instant t : z = -0,5gt² + V0t + z0

vitesse (ms-1) ; altitude (m) ; temps (s) ; g = 9,81 ms-2
3) Objet de masse m en chute verticale avec frottements
Les force s’exerçant sur le corps de masse m est le poids P = mg et le frottement proportionnel et opposé à la vitesse (frottement fluide)

µ §ƒn „± µ § „± µ §ƒn

soit sur l’axe vertical : µ §

vitesse à l’instant t : µ §= V est tel que µ § (1) avec µ §

* solution générale de l'équation µ §: V = A exp(-t / ƒä )

* solution particulière de (1) : Vlimite = gƒä.

* solution générale de l'équation (1) : V = A exp(-t/ƒä ) +Vlimite .

à l'instant initial, la vitesse est nulle : 0 = A + Vlimite soit A = -Vlimite .

V = Vlimite [1- exp(-t/Ċ )].

4) Mouvement de projectile dans un champ de pesanteur uniforme

Afin de décrire le mouvement du centre d'inertie de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme, dans le cas où les frottements peuvent être négligés, nous allons appliquer la deuxième loi de Newton.

a) Etablissement des équations horaires paramétriques.

Afin de décrire le mouvement du boulet, nous allons suivre les étapes suivantes :

- définir le système: le boulet de masse m
- définir le référentiel: terrestre supposé galiléen
- faire le bilan des forces: poids µ § (on néglige tout frottement)
- appliquer la deuxième loi de Newton : µ § donc µ § „± µ §ƒn
- définir les conditions initiales : à t = 0

les coordonnées du vecteur position sont : les coordonnées du vecteur vitesse sont :
- établir les équations horaires paramétriques

vx = v0x = 0 alors le mouvement est plan.
vy = v0y = v0 cos a = constante alors le mouvement sur l'axe Oy est uniforme.
az = - g alors le mouvement sur l'axe Oz est uniformément varié.

Les coordonnées du vecteur position sont les fonctions primitives de celles du vecteur vitesse

 alors

 


avec x0 = 0, y0 = 0, z0 = 0, on peut écrire :


b) Equation de la trajectoire.

Etablir l'équation cartésienne de la trajectoire dans le plan vertical yOz consiste à exprimer z en fonction de y. Il faut éliminer le paramètre temps t

 On obtient :

L'équation de la trajectoire est du type : z = A y² +B y

La trajectoire est une parabole.
7.2. Systèmes mécaniques oscillants
1) Pendule élastique horizontal

M

Principe

µ §

On considère un ressort de masse négligeable, de raideur k
Au repos, le mobile (S) est en équilibre sous l’action de son poids et de la réaction du banc
Si on écarte le solide de sa position d’équilibre G0, il se met à osciller autour de G0

Etude dynamique

2) Pendule de torsion

Description :

tige de masse m, suspendue à un fil inextensible,

de longueur l et de masse négligeable, faisant

ć

un angle ć avec sa position dՎquilibre


Etude dynamique


Un pendule simple consiste en une masse m suspendue à une corde (théoriquement sans masse) de longueur L. Lorsque la masse est tirée de côté puis relâchée, elle oscille suivant un arc de cercle autour de sa position d'équilibre.
Pendule pesant
µ §

oscillateur amorti (cas du 1) pendule horizontal)

7.3. Aspects énergétiques


A. Energie cinétique C’est l’énergie liée à la vitesse.
m en kg v en m.s-1 ;

EC s’exprime en Joule (J)

1° Energie cinétique de translation

a) Cas d’une particule : EC = ½ m.v2
b) Solide : µ §

2° Energie cinétique de rotation

a) Cas d’une particule : v = R.ƒnƒçƒnƒn„±ƒn EC(R) = ½ m.R2ƒç2
µ §

b) Solide :


B. Energie potentielle C’est l’énergie liée à la position.
1° Energie potentielle de pesanteur

Un objet de masse m qui est à l’altitude z possède l’énergie potentielle.
EP = m.g. (z-z0) [z0 est l’altitude de référence] ou bien : EP = m.g. h


2° Energie potentielle d’élasticité

Un ressort de raideur k, de longueur naturelle l0, dont la longueur a été portée à l possède l’énergie potentielle
EP = 1/2 . k . (l-l0 )2 = 1/2 . k .x²

C. Energie mécanique totale

L’énergie mécanique totale d’un système est la somme de ses énergies cinétique et potentielle

Système conservatif :
L’énergie mécanique totale d’un système isolé et sans frottement est constante.
Au contraire, dans le cas de frottement, une partie de l’énergie mécanique est transformée en chaleur et l’énergie mécanique ne se conserve pas


D. Travail d’une force

Travail reçu par un solide en translation :

µ §

Le chariot se déplace de A vers B sous l’effet de la force F

Lorsqu’une force déplace son point d’application, on dit que la force effectue un travail ou que le système sur lequel s’applique la force à reçu un travail. On le note WAB(F). Ce travail est bien sur fourni par un “autre système” (ici, celui qui tire le chariot).

Expression du travail d’une force constante lors d’un déplacement rectiligne :

WAB(F) = F . AB = F.AB.cos(ƒÑ) [unité : N.m = J (joule)]
D’après cette définition, le signe du travail peut être positif ou négatif et le travail peut être nul même s’il y a force et déplacement...

Si la force agit dans le sens du déplacement (0 < ƒÑ < 90° ou 270° < ƒÑ <360° ) le travail est dit moteur (W > 0).

Si la force s’oppose au déplacement (90° < ƒÑ < 270° ), le travail est dit résistant (W < 0).

Une force perpendiculaire au déplacement de son point d’application (ƒÑ = 90° ou 270°) n’effectue aucun travail (W= 0).

E. Analogie avec les circuits RLC

Rappelons les équations (avec amortissement) :

équation générale :   

oscillateur mécanique (masse-ressort) :   

oscillateur électrique (circuit série R, L, C) :    (décharge)

Les correspondances suivantes se déduisent de la comparaison de ces équations :

Pour les pulsations propres :    .

Pour les coefficients d'amortissement :    .

Pour l’énergie : Ec = ½ mv² „® Emagnétique = ½ Li² (v = dx/dt „® i = C duc/dt)
Ep = ½ kx² „® Eélectrostatique = ½ Cuc²
(attention : les correspondances ne sont pas des identités, car les unités ne sont pas les mêmes)
7.4. La résonance en mécanique
Lorsqu'on abandonne un système stable préalablement écarté de sa position d'équilibre, il y retourne, généralement à travers des oscillations propres. Celles-ci se produisent à la fréquence propre du système. Si le système n'est pas trop amorti, une excitation sinusoïdale est particulièrement amplifiée au voisinage de cette fréquence propre, c'est ce qu'on appelle la résonance. Sommairement on peut dire que le système réagit d'autant plus facilement qu'on lui fournit de l'énergie à une fréquence proche de sa fréquence naturelle comme disent les Anglo-saxons.

Les exemples sont les résonances acoustiques des instruments musicaux, la résonance des marées, la résonance orbitale (certaines des lunes jupitériennes), la résonance de la membrane basilaire dans le phénomène d'audition, la résonance dans des circuits électroniques et les systèmes mécaniques.

Notions de base

Modes propres

Implicitement, l'introduction concerne des systèmes à un degré de liberté ou supposés tels dont l'évolution est décrite par un seul paramètre fonction du temps. On rencontre de tels systèmes, entre autres, en mécanique avec le simple pendule ou le système masse-ressort, en électricité avec le circuit RLC. Leurs oscillations libres ne peuvent se produire qu'à une fréquence bien définie susceptible d'induire une résonance.

Si on couple deux pendules par un ressort, le système est alors décrit par les inclinaisons généralement distinctes des deux pendules. Ce système à deux degrés de liberté possède deux modes propres dans lesquels les pendules oscillent à la même fréquence. Toute oscillation libre est une somme des deux modes propres correspondants et, face à une excitation sinusoïdale, chacun d'eux peut engendrer une résonance. En supposant les deux pendules identiques, l'origine des deux types d'oscillation devient évidente. Dans un cas les pendules oscillent de concert, comme s'ils étaient liés par une barre rigide ; la fréquence propre du système est la même que celle du pendule simple. Dans l'autre, ils oscillent en opposition, comme si le milieu du ressort avait été fixé ; une moitié de ressort accroît donc la raideur associée à chacun d'eux, ce qui, comme il est précisé plus loin, augmente la fréquence propre.

Ces remarques se généralisent à des systèmes qui possèdent un nombre quelconque de degrés de liberté. La déformée d'une corde vibrante ou d'une poutre élastique est caractérisée par une infinité de positions ; il s'agit alors de systèmes continus à une infinité de degrés de liberté possédant une infinité de modes propres. Dans le cas de la corde sans raideur en flexion, les modes propres ont des formes sinusoïdales. La plus basse fréquence est alors appelée fréquence fondamentale tandis que les harmoniques ont des fréquences multiples de celle-ci.

Généralement, l'importance relative de l'amortissement s'accroît à mesure que s'élève l'ordre des modes, ce qui fait qu'il est suffisant de s'intéresser aux tous premiers modes, dans les problèmes techniques si ce n'est en musique.
Réponse à une excitation

Selon Systèmes oscillants à un degré de liberté, on constate que le rapport de l'amplitude X de la réponse à l'amplitude F de l'excitation dépend de la masse M (ou inertie ou, en électricité, auto-inductance), de la raideur K (ou inverse de la capacité) et de l'amortissement B (ou résistance) :

Cette formule montre, ce qui se généralise qualitativement à des systèmes beaucoup plus complexes, que la fréquence propre croît avec la raideur et décroît lorsque l'inertie augmente.

L'amplification ne varie pas seulement en fonction de la fréquence. Elle dépend également de l'amortissement du système : lorsque celui-ci décroît, l'amplification augmente dans une bande de fréquences de plus en plus étroite.

Ce phénomène d'amplification est mis à profit dans divers domaines pour séparer une fréquence déterminée de ses voisines.

A l'inverse, il peut être fréquemment à l'origine de dommages causés au système. Dans ce dernier cas, on cherche soit à l'atténuer en augmentant l'amortissement, soit à déplacer la fréquence propre en jouant sur l'inertie ou sur la raideur.

Utilisations de la résonance

La résonance permet de trier certaines fréquences, (mais ne produit pas d'énergie).

Le moteur deux temps

Le pot d'un moteur deux-temps a une forme bien particulière qui vise à créer un phénomène de résonance dans le but d'améliorer les performances et de diminuer la consommation et la pollution en évitant de laisser s'échapper (en partie) les gaz imbrûlés, et en augmentant la compression dans le cylindre.

Les instruments de musique

Voir: cordes vibrantes par exemple.

Les récepteurs radio

Chaque station émet une onde électromagnétique avec une fréquence bien déterminée. Le circuit RLC (résistance, inductance, capacité) est mis en vibration forcée par l'intermédiaire de l'antenne qui capte toutes les ondes électromagnétiques émises par toutes les stations. Pour écouter une seule station, on doit accorder la fréquence propre du circuit RLC avec la fréquence de l'émetteur en faisant varier la valeur de la capacité d'un condensateur variable (opération effectuée en agissant sur le bouton de recherche des stations).

Inconvénients de la résonance

Automobiles

Les automobilistes sont souvent irrités par les bruits parasites qui apparaissent à une certaine vitesse du véhicule ou de rotation du moteur. Certaines pièces mal amorties du moteur, ou de la carrosserie, entrent en résonance et émettent des vibrations sonores. L'automobile elle-même, avec son système de suspension, constitue un oscillateur heureusement muni d'amortisseurs efficaces qui évitent que le véhicule n'entre en résonance aiguë.

Navires

Les vagues engendrent des mouvements oscillatoires des navires. Sur un navire libre, faute de raideur, les mouvements linéaires selon les trois directions ne peuvent être soumis à la résonance et il en va de même pour le lacet. Restent le roulis et le tangage, ce dernier étant assez amorti pour ne pas être critique. Malheureusement la période propre de roulis tombe en général dans les périodes de vagues, le mouvement étant par ailleurs assez peu amorti. La meilleure solution pour lutter contre ce phénomène consiste à éviter de prendre les vagues par le travers. Il est également possible d'augmenter l'amortissement en ajoutant à la coque des appendices nommés quilles de roulis.

Sur les navires amarrés au large apparaît un autre phénomène, plus subtil, la dérive lente. En général, le système navire-amarrage a une période propre qui s'exprime en minutes. Elle ne peut donc être excitée par les vagues qui contiennent des périodes allant de quelques secondes à quelques dizaines de secondes mais l'excitation provient de termes non-linéaires. Ceux-ci créent de nouvelles fréquences sommes et différences de celles que contiennent les vagues, conformément à la formule de trigonométrie sur le produit de cosinus. Les forces correspondantes sont très petites mais, l'amortissement étant lui même très faible, la résonance induit des mouvements qui peuvent déplacer d'une ou deux dizaines de mètres un navire de quelques centaines de milliers de tonnes.

Ponts

Un pont suspendu, dont le tablier est maintenu par des câbles, peut effectuer des oscillations verticales, transversales ou de torsions. À chacun de ces types d'oscillations, correspond une période propre. En 1850, une troupe traversant au pas cadencé le pont de la Basse-Chaîne, pont suspendu sur la Maine à Angers, provoqua la rupture du pont par résonance et la mort de 226 soldats. Pourtant, le règlement militaire interdisait déjà de marcher au pas sur un pont, ce qui laisse à penser que ce phénomène était connu.

En 1940, de forts vents (de 65 à 80 km/h) provoquèrent la chute du pont de Tacoma Narrows (USA) à la suite de vibrations de flexion transversale puis, après la rupture d'un câble, de vibrations de torsion qui l'achevèrent. Une première explication avait été fournie qui s'appuyait sur l'excitation d'une résonance par le détachement périodique de tourbillons dans une allée de Karman. En fait, la fréquence observée des vibrations était très inférieure à la fréquence de détachement qu'il est possible de calculer. Il semble donc qu'il faille abandonner, dans ce cas, l'explication par une résonance pour la remplacer par celle qui fait appel à la notion d'instabilité aéroélastique. Dans un système linéaire possédant au moins une fréquence propre, comme ceux qui ont été envisagés précédemment, la stabilité est assurée quand le système est dissipatif, ou à la limite conservatif. Ici, le système devient actif, dans un vent que l'on peut supposer constant, à mesure que la tablier se tord, le moment des efforts aéroélastiques peut être approché par sa composante en phase avec le déplacement(pseudo-raideur) et sa composante en quadrature, proportionnelle à la vitesse de vibration. La composante en quadrature ,quand elle s'oppose à l'amortissement traduit l'apport d'énergie éolienne à la structure, cause de l'instabilité aéroélastique . Le mode de torsion devient instable, ce qui correspond à des oscillations d'amplitude croissante. La rupture peut alors survenir.

Le pont fut reconstruit en tenant compte de ce problème et est toujours en place.

Voir en anglais http://www.vibrationdata.com/Tacoma.htm.
Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sonance
ƒ¨ƒ|ƒn OPTIQUE

8.1. Images données par un système optique

A. La lumière se propage sous forme de rayons lumineux (en ligne droite)

Dans le vide ou dans l’air : v = c = 3.108 m/s Exemples :

Dans un autre milieu transparent : v = c/n où n est l’indice de réfraction verre : n = 1,5 

eau : n = 1,3
B. Lois de Descartes

objet A
1) Réflexion : angle d'incidence i = angle de réflexion r (1) i r
A : objet réel ; A' : image virtuelle

A' symétrique de A / plan du miroir
image A'
2) Réfraction : n1 sin i = n2 sin r (2) i

milieu 1

i : angle d'incidence

r : angle de réfraction milieu 2

r
Réflexion totale : si n2 est inférieur à n1 (exemple eau /air ) r > i et sin r pourrait être > 1 !

Dans ce cas (n1/n2 sin i >1), on n’a plus réfraction mais réflexion totale : le milieu 2 se comporte alors comme un miroir vis à vis du rayon incident. Application : fibres optiques.
C. Lentilles minces

F foyer objet, F' foyer image

O centre optique, F'OF axe optique
Vergence : µ § µ § en dioptries si distance focale f’ = OF' en m

:
Lentilles convergentes (V > 0)

B1
Objet : A1B1

A1 F O F' A'1

Image : A’1B’1

image réelle B'1

µ §
Lentilles divergentes (V < 0)

Dans tous les cas :
B2

B'2
A2 F' A'2 O F
image virtuelle

Exercice 1 Construire le faisceau réfléchi successivement par les miroirs M1 et M2 correspondant au faisceau incident issu de la source S (principe d'un périscope)
M1

I1

S

I'1


M2
Exercice 2
Le milieu 1 est l’air. Le milieu 2 est du plexiglas.
Un rayon lumineux passe de l’air dans le plexiglas.
L’angle d’incidence est de 50 °, l’angle de réfraction de 30,7 °.
Déterminer l’indice de réfraction n2.
Quelle est la plus grande valeur possible pour l’angle de réfraction ?
Un rayon incident dans le plexiglas frappe la surface de séparation avec un angle d’incidence égal à 30 °. Sachant que la loi de la réfraction (2) est valable dans les deux sens de parcours des rayons lumineux, construire le rayon émergeant dans l’air. (figure 1)
Que se passe-t-il si le rayon incident dans le plexiglas est tel que i = 60 ° ? (figure 2)

Figure 1 Figure 2

(1)
(2)

Exercice 3 Un objet lumineux AB est placé à proximité d'une lentille convergente de distance focale OF = 25 mm. Calculer la vergence de la lentille. Après avoir construit l'image A'B' de AB, préciser ses caractéristiques, dans les trois cas suivants :


1) OA = 2 OF
B


A F O F'

2) OA = OF
F O F'


3) OA = µ §OF


F O F'

8.2 Sources et récepteurs de lumière
1. Grandeurs photométriques énergétiques
Le flux énergétique est la puissance (en watts) transportée par l’ensemble des radiations d’un

faisceau lumineux (c’est l’énergie transportée par les photons transmis par unités de temps).

Ces grandeurs ne dépendent pas de la longueur d’onde.

L’éclairement énergétique est le flux reçu par unité de surface (en W/m²).
2. Grandeurs photométriques visuelles
À un flux énergétique déterminé correspond une impression visuelle qui dépend de la longueur

d’onde (ou de l’intervalle de longueurs d’onde) du rayonnement. Cette impression est

caractérisée par le flux lumineux du faisceau exprimé en lumens.

Les grandeurs photométriques visuelles sont définies pour le domaine visible.
Intensité lumineuse Symbole : I ; unité : la candela (cd)

Cette grandeur a été fixée arbitrairement. C'est à partie d'elle que l'on définit toutes les autres unités.

Définition : la candela est l'intensité lumineuse, dans une direction donnée, d'une source qui émet un

rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 Hz (ce qui correspond approximativement

à la fréquence à laquelle l’œil est le plus sensible), et dont l'intensité énergétique dans cette

direction est 1/683 watts par stéradian.
Flux lumineux Symbole : ƒ¶ ou F ; unité : le lumen (lm)

Le flux lumineux est la quantité de lumière émise par une source lumineuse dans un certain cône :

ƒ¶ = I.ƒÇ ƒÇ : angle solide en stéradians (sr)

Le flux lumineux émis par une lampe est sa principale caractéristique.

Définition : c'est le flux émis par une source ponctuelle uniforme de 1 candela dans un angle solide de 1

stéradian.
Eclairement Symbole : E ; unité : le lux (lx)

Le flux lumineux produit par une source peut se répartir sur des surfaces différentes donnant

des effets différents. Il a donc fallu définir une unité de flux lumineux par unité de surface, c'est

l'éclairement :

E = ƒ¶ƒnƒ}ƒnS

Ħ : Flux lumineux en lumens

S : surface en mètres carrés

Définition : le lux est l'éclairement E d'une surface de 1 m² recevant un flux lumineux de 1 lumen.
Luminance Symbole : L ; unité : la candela par mètre carrés (cd/m2)

Deux sources lumineuses peuvent avoir la même intensité lumineuse I, l'une provoquera un

éblouissement, l'autre pas. La différence est dans la luminance.
L = I / S

I : intensité lumineuse en candela

S : surface en mètres carrés

La luminance peut caractériser aussi bien une source lumineuse qu'une surface réfléchissante.

Définition : c'est le quotient de l'intensité lumineuse dans une direction donnée par l'aire de la projection

orthogonale sur le plan perpendiculaire à cette direction.
Source : http://c.divoux.free.fr/phyapp/phyapp20.html
3. Composants électroniques photométriques
3.1 Composants photosensibles
Récepteurs passifs :
Photorésistances (LDR : light dependant résistor) : la conductivité d'un semi conducteur augmente quand on lui apporte de l'énergie, en particulier de l'énergie lumineuse. Sa constitution détermine la couleur pour laquelle il est le plus sensible (CdS : jaune, CdSe : rouge, PbS : infrarouge).
Photodiode : une jonction PN polarisée en inverse aura une conduction par porteurs minoritaires qui augmente quand elle reçoit de l'énergie, en particulier lumineuse : l'intensité du courant inverse est proportionnel à l'éclairement.

Phototransistor : la jonction base-collecteur polarisée en inverse est sensible à l'éclairement et le transistor conduit d'autant plus que la lumière absorbée est intense (dans une gamme de couleurs prédéfinie).
Récepteurs actifs :

Photopile : générateur constitué d'une jonction PN éclairée.

3.2 Composants électroluminescents
Diode électroluminescente : (DEL ou LED) émet un rayonnement lorsqu’elle est polarisée en direct et traversée par un courant suffisant.
Photocoupleur (ou optocoupleur) : il est constitués d'une DEL et d'un phototransistor dans le même boîtier, de sorte qu'il permette une isolation galvanique (isolation électrique) entre le circuit d'entrée qui alimente la DEL, et le circuit de sortie qui alimente le phototransistor.
4. Une source de lumière cohérente : le laser
4.1 Propriétés :

COHERENCE (temporelle) Chaque atome d’une source de lumière classique est un oscillateur lumineux émettant de la lumière de façon discontinue, par train d’onde successifs de durée moyenne égale à 10-9s environ. Les lumières émises par 2 points distincts d’une même source ne présentent pas entre elles un décalage horaire constant. La lumière est dite incohérente
Les trains d’ondes émis par tous les oscillateurs lumineux du laser sont synchrones en tout point pris à la sortie de l’appareil. La lumière émise est appelée lumière cohérente
DIRECTIVITE (cohérence spatiale)  : le laser a pour propriété d ‘émettre dans une seule direction ; il délivre un faisceau lumineux très étroit (l’énergie lumineuse reste confinée dans un cylindre de volume pratiquement constant)
MONOCHROMATICITE : Le laser émet en général une lumière ayant une couleur bien définie (qui est dite monochromatique)


4.2 Quelques types de lasers
Lasers à gaz : Le milieu actif de ce type de laser est un gaz, pur ou en mélange. Les lasers de ce type sont d'une efficacité moyenne, d'une directivité du faisceau exceptionnelle et d'une puissance variable.
Lasers à solide : Les lasers à solide utilisent des verres ou des cristaux comme milieu actif. De tous les lasers, ce sont ceux qui fournissent la plus grande puissance utile. Les lasers à solide couvrent une grande partie du spectre électromagnétique, de l'infrarouge à l'ultraviolet.

YAG, Rubis, néodyme ; utilisation : taille de diamant, découpe de métal, chirurgie
Lasers à semi-conducteurs : Les lasers à semi-conducteurs sont particulièrement compacts. Le faisceau résultant d'un tel laser est peu directionnel, ayant une divergence de 5° à 30°, parce qu'il est émis par une petite surface de moins de 20 µm de côté. Il est aussi peu puissant : entre 1 et 100 mW. Les lasers à semi-conducteurs sont notamment utilisés pour les imprimantes laser, les lecteurs de disques compacts et comme source lumineuse pour la fibre optique, principalement à cause de leur petite taille.

8.3. Modèle ondulatoire de la lumière


1. Le spectre des ondes électromagnétiques

La lumière est une onde : célérité, longueur d'onde, fréquence

* On appelle célérité c ou v (m/s) de l'onde la vitesse de propagation de l'onde.
C'est le rapport entre la distance d (m) parcourue par l'onde et la durée ƒ´t (s) du parcours : µ §
C'est une propriété du milieu de propagation

* Un mouvement périodique est un mouvement qui se répète à intervalles de temps égaux.

La période d'un phénomène périodique est la durée au bout de laquelle le phénomène se répète identique à lui-même. On la note T et elle s'exprime en secondes (s).

La fréquence d'un phénomène périodique représente le nombre de périodes par seconde. On la note généralement f, son unité est le hertz (Hz). La fréquence est l'inverse de la période.

T(s) = µ § (f en Hz).

Un point M du milieu, situé à la distance x (m) de la source, reproduit le mouvement de la source avec un retard ƒnƒnƒnƒä = µ §
L'onde présente une double périodicité :

une périodicité temporelle de période T (exprimée en secondes).

une périodicité spatiale ou longueur d'onde ƒÜ (exprimée en mètres).

On en déduit la relation :

ƒÜ = c T = µ §

Le spectre des ondes électromagnétiques


spectre visible (0,4 < ƒÜ < 0,75 µm) :
IR rouge orange jaune vert bleu violet UV

Ć

(µm)
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

2. Diffraction et interférences en lumière monochromatique

Onde plane incidente diffractée par une fente de largeur b égale à la

longueur d'onde. Après l'écran, l'onde est cylindrique et se propage dans toutes les

directions.
Une interférence est produite par la superposition en un point de deux ou plusieurs ondes

incidentes. A chaque instant, la perturbation totale en ce point est la somme des

perturbations des ondes incidentes. Si deux ondes incidentes arrivent en phase en ce

point (ƒ´ƒÚ = ƒ~), les amplitudes s'ajoutent et l'interférence est dite constructive. Si les deux

ondes sont en ce point en opposition de phase (ƒ´ƒÚ = ƒà ), l'interférence est destructive. Dans le cas de l’interférence destructive, l’intensité ne sera nulle que si les amplitudes des deux ondes sont égales.

Interférences constructive (A) et destructive (B) de deux ondes

sinusoïdales de même fréquence et même direction. Le cas A se produit lorsque les

ondes sont en phase (ƒ´ƒÖƒn= 0 ) et le cas B lorsque les ondes sont en opposition de

phase (ƒ´ƒÖƒnƒ­ƒnƒàƒn). Les cas intermédiaires sont évidemment possibles.
Les ondes sphériques émises par tous les points d'une fente étroite vont interférer et

former une image de diffraction observable sur un écran.

Prenons sur l'écran un point P situé à une distance x du centre O de l'écran et à un angle

ƒáƒnpar rapport à la direction initiale de propagation. Les ondelettes émises par les centres

de deux bandes adjacentes séparés par ƒ´x parcourent jusqu'à P des chemins

légèrement différents. En phase dans la fente, les ondes sont donc légèrement déphasées en P. Ce déphasage ƒ´ƒÖ , dépendant de ƒáƒn, est donné par la différence des chemins parcourus ƒ´x sin ƒáƒnƒnrapportée à la longueur d'onde ƒÜƒnƒn

L'intensité lumineuse au point P est obtenue par la superposition des ondelettes

provenant des N bandes, chaque ondelette étant déphasée de ƒ´ƒÖƒnƒnpar rapport aux

ondelettes adjacentes.

Pour le point O, l'angle ƒáƒnest égal à 0 et le déphasage ƒ´ƒÖƒnest toujours nul; les ondelettes

sont toutes en phase, l'amplitude totale est maximale, ainsi que l'intensité lumineuse.

Si P s'éloigne de O, ƒáƒnƒnet ƒ´ƒÖƒnƒnaugmentent, l'amplitude totale Eƒáƒnƒnet l'intensité diminuent. Si

ƒáƒnƒnest tel que le déphasage entre les ondelettes émises par la première et la dernière

bande de la fente est 2ƒàƒnƒzƒnalors l'amplitude totale Eƒáƒnƒnest nulle. Pour s'en convaincre, il

suffit de remarquer que les ondes émises par deux bandes distantes de b / 2 sont

déphasées de ƒàƒn, donc la somme de leurs amplitudes, exactement opposées, donne 0. Il

n'y a par conséquent pas de lumière en ce point, il s'agit du premier minimum d'intensité.
En résumé, les minima d'intensité apparaissent si le déphasage total est égal à un multiple

de 2p, donc si : ƒÃƒnƒ´ƒÖƒnƒ­ƒn2ƒàƒnn n = „b1, „b2, „b3, ...

soit en fonction de q repérant la position des minima :

b sin ƒáƒnƒ­ƒnn ƒÜƒn n = „b1, „b2, „b3, ...


On peut avoir de la diffraction ou des interférences par un trou circulaire, un cheveu, un réseau de fentes¡K
Figure de diffraction par une fente :
ƒ©ƒ|ƒn CHIMIE des matériaux
métaux et alliages métalliques
Un métal est un élément chimique qui peut former des liaisons métalliques et perdre des électrons pour former des cations (ions positifs)

Les métaux sont en général des solides cristallins ; le mercure est toutefois une exception notable puisqu'il est le seul métal à l'état liquide dans les conditions normales (25 °C sous pression atmosphérique).

Les métaux conduisent généralement bien l'électricité. En tête l'argent, le cuivre et l'or.
Les mélanges de métaux forment des alliages, comme l'acier ou la fonte (alliages fer-carbone), les alliages de cuivre (bronze, laiton), les amalgames (alliages de mercure).
Alliages à mémoire de forme
Les alliages à mémoire de forme (AMF) sont des alliages possédant plusieurs propriétés inédites parmi les matériaux métalliques : la capacité de "garder en mémoire" une forme initiale et d'y retourner même après une déformation, la possibilité d'alterner entre deux formes préalablement mémorisées lorsque sa température varie autour d'une température critique, et un comportement superélastique permettant des allongements sans déformation permanente supérieurs à ceux des autres métaux. Parmi les principaux alliages à mémoire de forme, on retrouve toute une variété d'alliages de nickel et de titane comme constituants principaux, en proportions presque égales. Bien que "nitinol" ne soit en fait que le nom de l'un de ces "alliages quasi-équiatomiques nickel-titane", cette appellation est devenue couramment utilisée dans la littérature pour désigner l'ensemble de ces alliages, qui ont des propriétés fort semblable. Dans une moindre mesure, le laiton et certains alliages cuivre-aluminium possèdent également des propriétés de mémoire de forme.
Polymères et élastomères

Les matières plastiques sont des matériaux organiques de synthèse fondés sur l'emploi des macromolécules (polymères). On peut considérer que les caoutchoucs sont à regrouper sous cette appellation, mais il est encore largement convenu que ce matériau, compte tenu, notamment, d'une mise en œuvre spécifique (la vulcanisation), n'en fait pas partie.

Matière plastique = résine de base + adjuvants + additifs

Les thermoplastiques se déforment et sont façonnables sous l'action de la chaleur, gardent cette forme en refroidissant. Cette propriété permet leur recyclage : les objets sont broyés et refondus pour en élaborer d'autres.

Les plus répandus sont le polychlorure de vinyle, le polystyrène (jouets, ustensiles de cuisine, etc.), les acryliques, les polyamides, les polyoléfines (polypropylène, polyéthylène haute ou basse densité).
Les thermodurcissables prennent leur forme définitive au premier refroidissement, la réversibilité est impossible.

Les plus célèbres sont les phénoplastes (bakélite), les aminés (mélamine).
Les élastomères sont des polymères présentant les mêmes qualités élastiques que le caoutchouc. Ils sont employés dans la fabrication des coussins, de certains isolants ou des pneus,ce sont des matériaux tres résistants.

Céramiques et verres
Un matériau céramique est solide à température ambiante et n'est ni métallique, ni organique. Les objets en céramique sont réalisés par solidification à haute température d'une pâte humide plastique, ou agglutination par chauffage (frittage) d'une poudre sèche préalablement comprimée, sans passer par une phase liquide ; par extension, on désigne sous le terme « céramique » les objets eux-mêmes ainsi fabriqués.
Dans le langage courant, le mot verre sert à désigner un matériau dur, fragile (cassant) et transparent.

Dans le langage scientifique, le mot verre désigne un matériau amorphe (c'est-à-dire non cristallin) présentant le phénomène de transition vitreuse. L’état physique résultant est appelé état vitreux. Le plus souvent, le verre est constitué d’oxyde de silicium (silice SiO2) et de fondants.

Matériaux composites
Le matériau composite est un assemblage d'au moins deux matériaux non miscibles (mais ayant une forte capacité d'adhésion). Le nouveau matériau ainsi constitué possède des propriétés que les éléments seuls ne possèdent pas.

Ce phénomène, qui permet d'améliorer la qualité de la matière face à une certaine utilisation (légèreté, rigidité à un effort, etc.), explique l'utilisation croissante des matériaux composites, dans différents secteurs industriels. Néanmoins, la description fine des composites reste complexe du point de vue mécanique.

Un matériau composite est constitué d'une ossature appelée renfort qui assure la tenue mécanique et d'une protection appelée matrice qui est généralement une matière plastique (résine thermoplastique ou thermodurcissable) et qui assure la cohésion de la structure et la retransmission des efforts vers le renfort. Il existe aujourd'hui un grand nombre de matériaux composites que l'on classe généralement en trois familles en fonction de la nature de la matrice :

les composites à matrices organiques (CMO) qui constituent, de loin, les volumes les plus importants aujourd'hui à l'échelle industrielle,

les composites à matrices céramiques (CMC) réservés aux applications de très haute technicité et travaillant à haute température comme le spatial, le nucléaire et le militaire, ainsi que le freinage (freins carbone)

les composites à matrices métalliques (CMM).

Les composites trouvent leurs principales applications dans le transport aérien (civil et militaire), maritime et ferroviaire, le bâtiment, l'aérospatial ainsi que les sports et loisirs, notamment grâce à leur bonne tenue mécanique comparable aux matériaux homogènes comme l'acier et leur faible masse volumique.


1 Grandeur qui peut prendre toutes les valeurs entre deux limites Smin et Smax

2 Seulement deux valeurs possibles : niveau haut ou bas

3 valeur codée sur n bits (n sorties logiques) correspondant à 2n valeurs possibles

4 Rappelons que ƒç = 2 ƒà f = 2 ƒàƒnƒ}ƒnƒÄƒnƒ«ƒn = 0 ; Û = U „©ƒÐ2


christian.ekstein@ac-creteil.fr
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