Devoir n°9 à la maison
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TS 2012-2013 pour le lundi 6 mai 2013Devoir n°9 à la maisonExercice 1 : Désintégration radioactive On rappelle que pour un type d’atome radioactif donné, tous les atomes radioactifs suivent la même loi de désintégration : une loi exponentielle de paramètre  . Par exemple pour l’uranium 238.  Dans ce qui suit, l’unité de temps est une année.Partie 1 1) Sachant qu’un atome d’uranium 238 ne s’est pas désintégré au bout de 10 ans, quelle est la probabilité qu’il ne soit pas désintégré avant 20 ans (autrement dit que sa durée de vie T soit supérieure à 20. On présentera deux façons de faire ce calcul. 2) A partir de la définition de la loi exponentielle, calculer le réel  tel que  .Comment appelle-t-on le nombre en physique ?3) R.O.C. : En dérivant la fonction  , retrouver l’espérance d’une loi exponentielle de paramètre . Quelle est l’espérance de la durée de vie d’un atome d’uranium 238 ? Interpréter ce résultat par une phrase.Partie 2 Soit  un entier naturel non nul. On dispose d' atomes d’uranium 238 non désintégrés à l’instant 0. Le réel  positif étant fixé, donner en fonction de la probabilité qu’un atome ne soit pas désintégré à l’instant  . Dans ce qui suit, un atome est soit désintégré, soit non désintégré à cet instant .On compte le nombre d’atomes non désintégrés à l’instant , on note  le nombre d’atomes non désintégrés à l’instant t, parmi les  atomes de départ. Les atomes sont supposés indépendants. Quelle loi suit la variable aléatoire ? Donner son espérance et son écart-type en fonction de .Exercice 2 : ajuster l’espérance ou l’écart-type Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cL) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne  et d’écart-type  = 2.1) La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d'un litre. À quelle valeur de la moyenne doit-on régler la machine pour respecter cette législation? (Indication : utiliser une variable aléatoire centrée et réduite).2) La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors la probabilité qu'une bouteille déborde ? 3) Déterminer et  afin qu’il y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui débordent lors du remplissage.Exercice 3 : Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert 5000 abonnés. A instant t donné, chaque abonné a une probabilité égale à 20% d’être connecté. Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres. 1) On note X la variable aléatoire égale au nombre d’abonnés connectés à l’instant t. Quelle est la loi de X ? Quels sont son espérance, son écart-type ? 2) On associe à X la variable aléatoire centrée et réduite Z . Par quelle loi peut-on approcher la loi suivie par la variable aléatoire Z ? 3) Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d’accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d’être saturé `a un instant donné soit inférieure à 2,5%. En utilisant l’approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions. Exercice 4 : l’espace est muni d’un repère  . Les positions  d’un TGV et  d’un avion sont données par :
où t désigne le temps en heures. Les deux mouvements sont supposés rectilignes et uniformes (chacun est à vitesse constante, sur la partie étudiée). Le train décrit une partie d’une droite d, et l’avion une partie d’une droite d’. 1) Donner une représentation paramétrique de chacune des droites ayant  comme paramètre.1) d et d’ sont-elles parallèles ? Sécantes ? 2) Au moment où l’avion passe au-dessus des rails, un passager doit-il regarder à droite ou à gauche pour essayer de voir le train ? 3) Déterminer l’instant  où le train et l’avion sont les plus proches l’un de l’autre. Donner les positions de chacun à cet instant. (les résultats seront arrondis à 0,01 près)Les exercices 2 et 3 sont choisis pour mettre en valeur l’intérêt de centrer et réduire, même si les instruments de calculs permettent de travailler directement avec la loi n  . En effet, dans l’exercice 2, on ne connaît pas  . Dans l’exercice 3 question 3., les calculatrices ne fournissent une fonction « inverse-normale » que dans le cas de la loi normale centrée réduite.On pourrait aussi traiter ces questions à l’aide d’algorithmes, ce qui est un plus long à mettre en place, par exemple :
Pour préparer le DM, on peut éventuellement donner les numéros 30 p420 du math’x TS 2012 et le numéro 74 du Déclic 2012 ou équivalents. Sources : Exercice 1 : d’après Hachette collection Terracher 2002 Exercice qui mêle loi exponentielle et loi binomiale Exercice 2 : d’après le document ressources probabilité et statistiques pour la classe de terminale 2012) Exercice 3 : d’après un exercice donné en journées de l’inspection 2012 dans l’académie de Grenoble. (Corrigé fourni à cette occasion et disponible sur le site académique) |
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