Aperçu de l’histoire du calcul des probabilités

Enfin, si « le premier a une partie et l’autre point » , on est dans le cas : A1B0 . La probabilité qu’à A de gagner sous la condition A1B0 est d’après l’arbre : ½ x ½ + ½ x ½ x ½ + ½ x ½ x ½ x ½ + ½ x ½ x ½ + ½ x ½ x ½ x ½ + ½ x ½ x ½ x ½ = 7/16 + 1/4 = 11/16 Et toujours sous la même condition , la probabilité que B gagne est : 5/16 On en déduit l’espérance de gain pour A sur les 64 pistoles du début est de : 11/16 x 64 = 44 pistoles et pour B : 5/16 x 64 = 20 pistoles  Attention : «  La vérité est la même à Toulouse et à Paris ». Pascal se place dans un point de vue de juriste et de droit des affaires tels qu’ils apparaissent justement au XVIIième siècle ( les pistoles qui me sont dues ) mais il ne faut pas confondre « vérité » et « équité » … d’autres partages sont possibles ( Pascal ne donne pas trop la parole au perdant ! ). C’est une loi volontaire s’ils veulent rompre de « gré à gré ». Ce que l’on peut dire aujourd’hui, c’est que le calcul de Pascal correspond au calcul de l’espérance mathématique c'est-à-dire ce que le joueur peut espérer gagner en moyenne sur un grand nombre de fin de parties jouées réalisées de façons identiques et indépendantes … mais sur une seule partie ? Ce type d’échange de lettre entre mathématiciens a permis l’essor des probabilités mais aussi de façon générale, des mathématiques en les sortant d’un milieu très fermé où le secret est de mise au XVième - XVIème et des traités de mathématiques commerciales. Les mathématiciens de l’époque qui ne sont pas des mathématiciens professionnels se lancent des défis, ensuite plusieurs donnent « leur » solution, ce qui fait avancer l’élaboration de la notion et sa généralisation. Ils ont conscience que ce ne sont que des cas d’école mais qu’il y a tout à construire et à défricher, donc vont travailler sur des jeux de plus en plus compliqués et des exercices pseudo- concrets se ramenant à des jeux en vue d’une possible application. III- Une approche à postériori : Bernouilli et la loi des grands nombres (autour de 1700 ) Bernoulli constate que les calculs précédents ne peuvent s’appliquer qu’à des situations aléatoires simples telles que les jeux de hasard, mais exclut toute application réelle aux phénomènes naturels complexes ( apparition de maladies , météo etc … ). Il développera une autre approche du calcul des probabilités : c’est l’approche fréquentiste après observation d’un grand nombre d’expériences semblables. Il justifie l’assimilation probabilité – fréquence par « la loi des grands nombres » en démontrant que la fréquence expérimentale d’une issue possible, dans une  expérience aléatoire répétée, peut être aussi proche que l’on veut de sa probabilité théorique, déterminée à priori lorsque cela est possible. Cette notion de probabilité définie à posteriori sera utilisée à l’époque pour des prévisions économiques ( impact des guerres, assurances des bateaux qui partaient naviguer au loin, calcul de rentes viagères etc …) La difficulté réside alors dans l’estimation d’une probabilité théorique par une étude statistique et non dans le calcul à priori des probabilités élémentaires. Document 2 : Tables de mortalité et espérance de vie Aujourd’hui les tables de mortalité , régulièrement actualisées par l’INSEE , sont très utiles non seulement pour permettre aux compagnies d’assurance d’ajuster leurs primes d’assurance-vie ou d’assurance- décès , mais aussi pour mettre en évidence des inégalités entre catégories sociales, ou des évolutions au sein de certaines catégories. Au début du XVIIIème siècle, l’astronome anglais Edmund Halley publie la table de mortalité suivante, relative aux habitants de la ville de Breslau en Prusse Orientale. Il a choisi cette ville car il y a peu d’échange avec l’extérieur, sa population est stable dans le temps … Mais attention à ne pas confondre une étude statistique et une étude probabiliste, les problèmes ne sont pas les mêmes. Les calculs statistiques sur les impôts, la mortalité, les récoltes, les maladies, etc … sont encouragés par les gouvernements, comme moyens d’observation, pour combiner les résultats et aider à la décision ( avec les difficultés d’emploi liées aux indicateurs choisis ). Le calcul probabiliste, lui, est sensé donner des moyens d’extrapolation et de prévision. Pour que les valeurs puissent être étendues à la population de la Prusse en entier (… et du monde ?), Halley a essayé de s’approcher des critères de la loi de Bernoulli. Prendre au hasard un habitant de Breslau au XVIIIième siècle ne sert à rien, mais il faudra de toute façon changer l’univers … Parallèlement, les frères Huygens ( mathématiciens hollandais ) s’amusèrent à prendre les valeurs de la table de mortalité obtenues par Graunt à Londres comme des valeurs théoriques pour estimer et comparer leur durée de vie future ( moyenne et probable ). n désigne l’âge ( en années révolues ) et Qn la proportion de survivants à l’age n . n Qn n Qn n Qn n Qn n Qn n Qn n Qn n Qn n Qn n Qn 0 1 10 0,653 20 0,592 30 0,523 40 0,436 50 0,335 60 0,232 70 0,131 80 0,034 90 0,007 1 0,855 11 0,646 21 0,586 31 0,515 41 0,427 51 0,324 61 0,22 71 0,12 81 0,028 91 0,006 2 0,798 12 0,64 22 0,579 32 0,507 42 0,417 52 0,313 62 0,212 72 0,109 82 0,023 92 0,005 3 0,76 13 0,634 23 0,573 33 0,499 43 0,407 53 0,302 63 0,202 73 0,098 83 0,02 93 0,004 4 0,732 14 0,628 24 0,567 34 0,49 44 0,397 54 0,292 64 0,192 74 0,088 84 0,018 94 0,003 5 0,71 15 0,622 25 0,56 35 0,481 45 0,387 55 0,282 65 0,182 75 0,078 85 0,016 95 0,002 6 0,692 16 0,616 26 0,553 36 0,472 46 0,377 56 0,272 66 0,172 76 0,068 86 0,014 96 0,001 7 0,68 17 0,61 27 0,546 37 0,463 47 0,367 57 0,262 67 0,162 77 0,058 87 0,012 97 0 8 0,67 18 0,604 28 0,539 38 0,454 48 0,357 58 0,252 68 0,152 78 0,049 88 0,01 98 0 9 0,661 19 0,598 29 0,531 39 0,445 49 0,346 59 0,242 69 0,142 79 0,041 89 0,009 99 0 On appelle V la durée de vie d’un habitant de Breslau choisi au hasard au début du XVIIIème siècle. L’équiprobabilité nous permet de prendre les proportions comme valeurs des probabilités. Sa loi de probabilité est calculée à l’aide de la formule : p ( V = n ) = Qn – Qn-1 et est donnée par le tableau suivant : n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) n p(V=n) 0 0,145 10 0,007 20 0,01 30 0,008 40 0,009 50 0,011 60 0,012 70 0,011 80 0,006 90 0,001 1 0,057 11 0,006 21 0,01 31 0,008 41 0,01 51 0,011 61 0,008 71 0,011 81 0,005 91 0,001 2 0,038 12 0,006 22 0,01 32 0,008 42 0,01 52 0,011 62 0,01 72 0,011 82 0,003 92 0,001 3 0,028 13 0,006 23 0,01 33 0,009 43 0,01 53 0,01 63 0,01 73 0,01 83 0,002 93 0,001 4 0,022 14 0,006 24 0,01 34 0,009 44 0,01 54 0,01 64 0,01 74 0,01 84 0,002 94 0,001 5 0,018 15 0,006 25 0,01 35 0,009 45 0,01 55 0,01 65 0,01 75 0,01 85 0,002 95 0,001 6 0,012 16 0,006 26 0,01 36 0,009 46 0,01 56 0,01 66 0,01 76 0,01 86 0,002 96 0,001 7 0,01 17 0,006 27 0,01 37 0,009 47 0,01 57 0,01 67 0,01 77 0,009 87 0,002 97 0 8 0,009 18 0,006 28 0,01 38 0,009 48 0,011 58 0,01 68 0,01 78 0,008 88 0,001 98 0 9 0,008 19 0,006 29 0,01 39 0,009 49 0,011 59 0,01 69 0,011 79 0,007 89 0,002 99 0 . Calculer l’espérance de vie d’un habitant de Breslau à sa naissance, au début du XVIIIème siècle . l’espérance de vie à sa naissance est donc obtenue par la formule mathématique :  pi xi , avec les valeurs du tableau de la loi de probabilité , c’est à dire  p(V=n)  n , on obtient avec le tableur : environ 33 ans . Calculer la durée de vie probable d’un habitant de Breslau à sa naissance, au début du XVIIIème siècle. On trouve aussi Qn = 0.5 pour n = 32 ( entre 32 et 33 ) commentaires : les deux points de vue sont radicalement différents, l’un est une vision de banquier, l’autre est celle d’un pari : une chance sur deux que … à l’époque ce fut un gros sujet de controverse , chances , hasard, probabilités … à éclaircir et mettre en forme dans une théorie mathématique . 3) On choisit une personne de 42 ans dans la ville de Breslau au XVIIIième siècle, déterminer à l’aide la table, sa durée de vie moyenne à 42 ans puis sa durée de vie probable à 42 ans. Durée de vie moyenne avec le tableur : 62 ans Durée de vie probable :0.417/2=0.208 ce qui correspond aussi à environ 63 ans Analogie entre moyenne et médiane Attention : Le problème fondamental pour l’application à des situations concrètes est dans la répétition d’expériences aléatoires de façons identiques et indépendantes, ne serait-ce qu’à cause du temps qui passe … Dans le cours de math de 1S, on applique les propriétés d’un schéma de Bernoulli à une situation théorique « parfaite ». Les utiliser dans la pratique est un choix de l’utilisateur.

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