Dm n°10 – 1èreS – 2010/2011
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| DM n°10 – 1èreS – 2010/2011 Exercice 1 Une urne contient n jetons dont 5 rouges alors que les autres sont verts (n  5).On prélève successivement et sans remise deux jetons de l’urne au hasard. 1- Dans cette question, on suppose n = 8. Calculer les probabilités des évènements suivants : A : « le premier jeton est rouge et le deuxième est vert » ; B : « un jeton est rouge et l’autre est vert » ; C ; « les deux jetons sont rouges » ; D : « les deux jetons sont de la même couleur ». 2- Dans cette question, n désigne un entier quelconque strictement supérieur à 5. On appelle  la probabilité que les deux jetons tirés soient de couleurs différentes.  déterminer l’entier n pour lequel la probabilité est maximale. Préciser alors la valeur de .Exercice 2 On considère l'équation : x2 + px + q = 0. Les coefficients p et q sont obtenus en jetant deux dés. Quelle est la probabilité que l'équation admette deux racines réelles ? Exercice 3 Pour une mise de 2 €, un joueur choisit un numéro compris entre 1 et 6, lance deux dés cubiques bien équilibrés et observe combien de fois son numéro est « sorti ». Le joueur gagne 13 € si son numéro sort sur chaque dé, 5 € s’il n’apparait que sur un seul et rien sinon. Dans tous les cas, il perd sa mise. On désigne par X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, à l’issue d’un lancer. 1- a- Déterminer la loi de probabilité de X. b- Calculer l’espérance E(X) et l’écart type σ(X). c- Interpréter E(X) et indiquer si ce jeu est équitable. Si ce n’est pas le cas, préciser à combien il faudrait fixer la mise pour qu’il le devienne. 2- L’organisateur envisage de minorer la mise et les deux gains prévus de 1 €. On désigne par Y le gain algébrique du joueur dans ces nouvelles conditions. a- Déterminer la loi de probabilité de Y. Calculer son espérance et son écart type. b- Comparer avec la situation antérieure et interpréter. Doit-on s’étonner que l’organisateur ait renoncé à cette modification ? 3- Après réflexion, l’organisateur décide de doubler la mise et les gains du jeu initial. a- Z est dans ce cas le nouveau gain algébrique du joueur. Déterminer sa loi de probabilité et ses paramètres E(Z) et σ(Z). b- Comparer avec les résultats des questions 1- et 2-, et classer les trois stratégies dans l’ordre croissant :
Exercice 4 On définit deux suites  et  par  et  , puis pour tout   1- Avec un tableur, calculer les vingt premiers termes des ces deux suites. Quelles conjectures peut-on faire ? (Imprimer et coller votre tableau). 2- Soit  et  pour tout .a- Calculer  .b- Montrer que  pour tout . Qu’en déduit-on pour la suite  ?c- Montrer que la suite  est une suite géométrique.3- a- Exprimer  et  en fonction de  et  , puis en fonction de  .b- Démontrer les conjectures faites à la question 1-. |
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