Probabilités Conditionnelles – Loi Binomiale
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 Probabilités Conditionnelles – Loi Binomiale
Une expérience aléatoire est un protocole précis dont on ne peut pas prévoir l’issue mais qui peut être vérifiée. • EXPERIENCE ALEATOIRE Exemples
• UNIVERS Ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire. On le note :  . On a alors  .Exemple : Si on lance un dé à 6 faces, on a  .• EVENEMENT Sous-ensemble de l’univers . Exemple : Soit l’évènement : « obtenir un nombre pair avec le lancement d’un dé ». On a alors  • EVENEMENT ELEMENTAIRE Evènement qui ne contient qu’un seul élément. On le note alors  .• EVENEMENT CERTAIN C’est l’univers . • EVENEMENT IMPOSSIBLE C’est l’ensemble vide  .
Définition : on appelle évènement contraire d’un évènement  , l’évènement noté  composé des éléments de qui ne sont pas dans . Evènement contraire Exemple : On lance un dé parfait. On appelle l’évènement « obtenir un 6 ». On a donc l’évènement contraire : « ne pas obtenir 6 ».
Définition : on appelle intersection de deux évènements A et B, l’évènement noté  composé des éléments de qui appartiennent à A et à B. On a alors le schéma suivant : On dit que les évènements A et B sont incompatibles si et seulement si :  Exemple : On tire deux cartes dans un jeu de 32 cartes. Soient les évènements :
L’évènement est donc : « obtenir la dame de cœur et un autre cœur ».Définition : on appelle union de deux évènements A et B, l’évènement noté  composé des éléments de qui appartiennent à A ou (non exclusif) à B. On a alors le schéma suivant : On dit que les évènements A et forment une partition de car : Exemple : On tire deux cartes dans un jeu de 32 cartes. Soient les évènements :
L’évènement est donc : « obtenir deux cartes de même valeur ou un roi et une autre carte de valeur différente ».
Définition : On appelle loi de probabilité sur un ensemble , la fonction  à valeur dans  définie par les conditions suivantes :•  • Si A et B sont incompatibles, alors  .On peut alors démontrer les propriétés suivantes (mais ça, vous pouvez le faire…)…
Exemples
 Calculer la probabilité d’apparition de chaque face.
 Calculer  .Réponse
 On obtient donc : 
 On obtient alors :  .On calcule ensuite :  .
Définition : On appelle loi de probabilité équirépartie, la loi de probabilité où chaque évènement élémentaire a la même probabilité d’apparition (équiprobabilité). Si se décompose en  évènements élémentaires, on a : Exemple : pour un dé à jouer équilibré, chaque face a une probabilité d’apparition de  .Théorème : Dans une loi équirépartie, la probabilité de l’évènement vérifie : Remarque : Lorsque la loi de probabilité revient à un problème de dénombrement. On peut alors utiliser pour dénombrer les différents cas : un arbre, un tableau double entrée, diagramme de Venn, une liste,… Exemple : Une urne contient 6 boules : 4 rouges (numérotées de 1 à 4) et 2 bleues (numérotées de 5 à 6). On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne et on note sa couleur. Calculer la probabilité des évènements suivants : R : « tirer deux boules rouges » et C : « tirer deux boules de même couleur ». Réponse Calculons d’abord le nombre de tirages possibles. On cherche ici des paires. Faisons la liste :   Il y en a en tout :  tirages possibles.Pour avoir  , il ne faut utiliser que les numéros de 1 à 4.Il y a donc :  choix.   Soit  : « obtenir deux boules bleues ». 
Définition : • Définir une variable aléatoire X sur , c’est associer à chaque issue de un nombre  .• Définir une loi de probabilité de X consiste à associer à chaque valeur la probabilité  . • On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée  définie par : • On appelle variance et écart-type de la variable X, les quantités notées respectivement V(X) et  définies par : Remarque : L’espérance mathématique correspond à une moyenne des valeurs prises, pondérées par les probabilités de la loi définie sur  . Si par exemple, représente le gain pour un jeu, représente le gain moyen que peut espérer le joueur. On dit alors que si  , le jeu est favorable au joueur et si  , le jeu est favorable à l’organisateur.Exemple : Dans un jeu de fléchettes, la cible est constituée de disques de rayons respectifs  et  .Un joueur atteint toujours la cible et on admet que la probabilité qu’il atteigne une zone de cette cible est proportionnelle à l’aire de cette zone. Lorsqu’il atteint la zone rouge, il gagne 15 €, lorsqu’il atteint la couronne bleue, il gagne 7 €. En revanche, si la fléchette atteint la couronne verte, il perd 5 €.  On appelle la variable aléatoire qui indique le gain du joueur.
Réponse
• la surface totale de la cible :  .• la surface du disque rouge central :  .• la surface de la couronne bleue :  .• la surface de la couronne verte :  .On obtient les probabilités suivantes :    On obtient alors le tableau suivant :
 Comme l’espérance de est négative, le jeu n’est pas favorable au joueur. En effet, en moyenne, il peut espérer perdre 1,5 €.
 
Propriété : est une variable aléatoire d’espérance et de variance  . Alors pour tous réels  et  , on a : Remarque : Le calcul de l’espérance est donc une opération linéaire. Exemple : Un professionnel vend des fauteuils.  Sa commission est de 200 € par fauteuil vendu, et ses frais sont de 280 € par jour. Une étude statistique a montré que la variable aléatoire qui indique le nombre  de fauteuils vendus par jour suit la loi représentée ci-contre. On note  la variable aléatoire donnant le gain journalier du vendeur.
Réponse
 
 On en déduit alors :  Le vendeur peut donc espérer gagner 310 € par jour. Remarque : On peut calculer la variance et l’écart-type de . On a :  On obtient alors :  et  .
Définition : Lorsque  on note  la probabilité d’avoir l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé. On a alors la relation suivante :
Soient deux évènements et . On peut représenter par un arbre pondéré les probabilités suivantes lorsque l’on connaît les probabilités de ou  lorsque est réalisé.On pose : • F : « l’élève choisi est une fille » • E : « l’élève choisi est externe » On traduit les données à l’aide de probabilités. On a :  On obtient alors l’arbre ci-contre : Exemple : Dans un lycée, 54 % des élèves sont des filles dont 72 % sont externes. De plus, 76 % des garçons sont externes. On choisit un élève au hasard. Propriétés : Pour remplir et utiliser un arbre, on a les propriétés suivantes : |
les 
.
.
.
.
et 
. On a :
:
.
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