1 de la vitesse aujourd'hui aux origines de la notion





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Vitesse, accélération, mathématisation

et lois du mouvement. Causalité et analyse



La seconde phase commence avec les premières tentatives fructueuses de libérer la notion de vitesse de ses limitations qualitatives et ontologiques pour obtenir une représentation unifiée et mathématique du mouvement, avec Benedetti et surtout Galileo Galilei (Galilée). Ce dernier développa l'idée d'“impeto”, ou “momento”, qui ne garde de l'ancien “impetus” que l'idée d'une propriété motrice inhérente au corps, mais conçue comme l'effet du mouvement, et non comme sa cause. Par cette transformation de sens, le concept galiléen d'“impeto” est en rupture plus qu'en continuité avec l'“impetus” dynamique. Galilée, pour qui les mathématiques sont la langue de l'Univers, le concevait comme un grandeur intelligible mathématiquement. De fait, l'“impeto” contient deux idées originales dont l'importance allait s'avérer décisive : la conservation du mouvement, plus précisément de la quantité de mouvement (exprimée comme le produit du poids par la vitesse), et la loi de l'inertie, c'est-à-dire la poursuite indéfinie, pour un corps laissé à lui-même, de son mouvement initial, uniforme et en ligne droite. Ou, du moins, lorsque l'on s'affranchissait de la pesanteur, c'est-à-dire, pour Galilée, dans le plan horizontal. Car il considérait encore la force de pesanteur comme attachée au corps, et non pas extérieure à lui.

On peut considérer, avec Alexandre Koyré, que la grande innovation de Galilée aura consisté à considérer le mouvement, pour un corps physique, comme un état et non plus comme un processus (ce qu'il était d'Aristote aux scolastiques). Cela mettait le mouvement sur le même plan ontologique que le repos : la vitesse n'affecte pas les propriétés du corps. Il était dès lors possible de composer entre elles des vitesses dues à des causes d'origines différentes, mathématiquement, c'est-à-dire géométriquement (parallélogramme des vitesses), ce qui permettait de ramener, pour ainsi dire, le mouvement au repos (relativité des mouvements). Il pouvait alors trouver géométriquement la trajectoire d'un corps mobile, en décomposant sa vitesse, acquise en un point de sa trajectoire, en celle due à la force d'inertie et celle due à la force qui le sollicite, par exemple dans la chute libre des corps graves.

Après des tâtonnements (il avait d'abord tenté d'exprimer la vitesse de chute comme proportionnelle à la distance parcourue, qui lui paraissait la loi la plus simple et naturelle), Galilée réussit à formuler la loi de la chute des corps en termes de la hauteur de chute proportionnelle au carré de la durée correspondante. Pour la première fois, une loi physique, pour des corps terrestres, était exprimée en fonction du temps pris comme variable. Avec la loi galiléenne de la chute des corps, la force était désormais conçue non plus comme ce qui produit la vitesse, mais comme ce qui produit le changement de vitesse, c'est-à-dire l'accélération. Il s'agissait alors de vitesses moyennes pour un parcours fini. La loi énonçait aussi l'égalité de l'accélération (dans le vide, c'est-à-dire en l'absence de résistance de l'air), à une hauteur donnée de chute, pour tous les corps, indépendamment de leur forme et de leur poids.

A l'aide de la composition des vitesses, Galilée était alors en mesure d'établir les lois de la balistique pour les corps terrestres et de calculer la trajectoire d'un projectile, dont il établit qu'elle est une parabole. A la même époque, Johannes Kepler formulait les trois lois du mouvement des planètes, à partir des mesures de Tycho Brahé, dont la première sur les trajectoires elliptiques. Pour la première fois, indépendamment et presque simultanément, l'existence de trajectoires géométriques autres que la ligne droite ou le cercle venait d'être annoncée. Il s'agissait dans les deux cas de coniques (courbes du second degré). Mais personne avant Newton ne s'avisa de faire le rapprochement.

Le principe d'inertie fut, après Galilée, formulé plus complètement, pour toutes les directions, en étant conçu indépendamment de la pesanteur, désormais pensée comme extérieure aux corps, par René Descartes et par Pierre Gassendi. La composition des vitesses, la conservation de la quantité de mouvement, le principe de relativité, présents chez Galilée, furent repris, de Descartes et Gassendi à Christiaan Huygens, qui formula explicitement le dernier avec cette dénomination. (On doit également à Huygens, indépendamment de Newton, la connaissance de la force centrifuge dans le mouvement circulaire).

L'instantanéité du temps dans le mouvement fut une préoccupation de Descartes, qui formula d'ailleurs la notion de centre instantané de rotation. Mais c'est à Newton qu'il devait revenir d'exprimer les lois dynamiques pour un instant donné en relation à un instant quelconque, grâce à la pensée du calcul infinitésimal qui est implicite dans la géométrie des limites mise en œuvre dans les Principia.

La formulation des lois du mouvement et de la dynamique connut ainsi son aboutissement avec Isaac Newton, qui en fit un système, couronné par sa découverte de la loi de la gravitation universelle. Reprenant les trois lois déjà formulées avant lui de l'inertie, de la composition des mouvements et des forces, et de l'équilibre ou de l'action et de la réaction, il les formula de manière systématique et en terme de forces, unifiant ce concept autour de sa seconde loi, qui exprime le changement de vitesse en fonction de la force appliquée1. C'est la loi fondamentale de la dynamique newtonienne, ultérieurement traduite dans la symbolique du calcul différentiel et intégral leibnizien, qui constitue la loi, différentielle et causale, de la dynamique de corps matériels.

La loi newtonienne (différentielle) de la gravitation universelle unifiait et justifiait les lois képleriennes du mouvement des planètes et la loi galiléenne de la chute des corps (lois intégrales ou globales), par la relation qui lie la position et la vitesse d'un corps sur sa trajectoire entre un instant donné et l'instant immédiatement suivant. Newton avait introduit les notions de grandeurs absolues (temps, espace, vitesse), indépendantes des corps, nécessaires dans son esprit pour leur mathématisation, contrairement à ses prédécesseurs Galilée, Descartes, Huygens, qui les concevaient comme seulement relatives aux corps. En outre la deuxième loi du mouvement de Newton, qui énonce la proportionalité de la force au changement de vitesse, requérait dans son esprit un espace absolu (physique et mathématique) comme support des accélérations.

Dans les Principia, Newton étudiait quantitativement les lois du mouvement en termes de représentation géométrique des grandeurs physiques, comme des portions de courbes ou de droites. Dans les passages à la limite les rapports de grandeurs (par exemple, de la corde à l'arc) il obtenait des valeurs finies pour un point et un instant donné, correspondant de fait à des grandeurs instantanées, sans pour autant qu'il les ait formulées explicitement comme telles. La représentation des grandeurs dans le langage du calcul différentiel leibnizien, faite au début du XVIIIè siècle, donnerait toute sa puissance à la mécanique newtonienne2. Les lois du mouvement des corps, ensemble de points matériels pour Newton seraient ensuite étendues aux corps solides et fluides, bénéficiant en même temps de grands progrès dans le traitement mathématique. Ces développements se poursuivirent au long des deux siècles après la publication des Principia, aboutissant au plein développement de la mécanique et de la physique classique, de Leonhard Euler, Alexis Clairaut et Jean d'Alembert à Louis Joseph Lagrange et Pierre Simon Laplace, puis à William Rowen Hamilton, et se prolongent jusqu'à la fin du XIXème siècle.

Mais, déjà avant la fin de cette période, on voit apparaître des éléments qui allaient à terme entraîner des modifications radicales pour le concept de vitesse. Ce sont (outre certaines difficultés conceptuelles de la mécanique newtonienne telles que le caractère absolu et inobservable du temps, de l'espace (et de la vitesse), criquées de Leibniz à Berkeley et à Mach) l'invariance de la vitesse de la lumière et la propagation à vitesse finie des champs d'interaction.
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