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date de publication21.10.2019
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typeRésumé
Commande à retour de sortie d’un convertisseur série à résonance

O. Elmaguiri1, F. Giri1, H. El Fadil1, L. Dugard 2
1 GREYC, Université de Caen, Caen, France.

Corresponding author: fouad.giri@ unicaen.fr

2 GIPSA, ENSIEG, INPG, Grenoble, France


Résumé- Ce travail porte sur le problème de régulation de la tension de sortie d’un convertisseur résonant série de type DC/DC (SRC). Le problème présente trois niveaux de difficulté: (i) le modèle du convertisseur est non linéaire et discontinu ; (ii) les états du modèle ne sont pas tous accessibles à la mesure ; (iii) la charge est inconnue et peut varier dans le temps. La solution développée dans ce papier consiste en un régulateur adaptatif à retour de sortie. Ce dernier comprend trois composantes: (i) un observateur conçu par la technique du grand gain, estimant en ligne les variables d’états non accessibles à la mesure ; (ii) une loi de commande élaborée par la technique du backstepping à partir du modèle observé; (iii) un algorithme d’adaptation rendu robuste moyennant une projection paramétrique. Cette robustesse s’avère nécessaire pour faire face aux erreurs d’estimation d’état dans le modèle. Le système de commande en boucle fermée ainsi élaboré fait l’objet d’une analyse théorique mettant en évidence des conditions de stabilité semi globale.
Mots-clés : convertisseur série à résonance, observateur à grand gain, commande adaptative, backstepping, stabilité.
I. Introduction

Les alimentations à résonance ont connu récemment un engouement important s’expliquant, entre autres, par le fait qu’elles fonctionnent en commutation dite «naturelle». Ce type de commutation permet de répondre à des exigences élevées en puissance et en fréquence. Par rapport aux convertisseurs classiques (à commutation forcée), les convertisseurs à résonance présentent plusieurs avantages dont notamment: (i) les pertes sont plus faibles puisqu’ils ont théoriquement lieu uniquement aux instants de commutation ; (ii) la possibilité de fonctionner a des fréquences très élevées (supérieures à la fréquence du réseau d’alimentation) ce qui permet une réduction considérable du poids et du volume. Les convertisseurs à résonance sont des systèmes à structure variable, de ce fait, leur comportement est fortement non linéaire ce qui complique relativement leur modélisation, analyse et commande,

Dans ce travail, on s’intéresse aux problèmes de commande et d’observation d’une classe de convertisseurs séries résonants (SRC) de type (Fig. 1). Ces convertisseurs sont constitués d’un onduleur de tension alimentant un circuit oscillant (LC) en série avec un redresseur. Si le modèle de connaissance est tout à fait convenable pour décrire le fonctionnement du système il est, du fait de sa complexité, loin d’être approprié à la synthèse d’observateurs et de régulateurs. Par conséquent, des versions simplifiées, mais assez précises, en ont été proposées dans la littérature. La version retenue dans ce travail est celle qui découle d’un développement harmonique au premier ordre du modèle de connaissance.

Le problème de commande des convertisseurs résonants a fait l’objet de nombreuses études, allant des plus simples (utilisant des PID) aux plus évoluées (tirant profit d’outils avancés de l’automatique). Ainsi, a-t-on proposé une commande optimale dans [1], une commande par mode glissant dans [2], une commande plate dans [3] et une commande dissipative [4]. Cependant, ces contributions s’appuient sur l’hypothèse que la charge du convertisseur est invariante et connue, ce qui n’est généralement pas le cas. Dans ce papier, nous développerons un schéma de commande adaptatif à retour de sortie pour réguler la tension de sortie d’un convertisseur SRC tout en préservant la stabilité en boucle fermée. Le schéma de commande comprend un observateur, conçu par la technique du grand gain, une loi de commande adaptative, élaborée par la technique du backstepping. Pour garantir la robustesse de la loi d’adaptation paramétrique, vis-à-vis des erreurs de modélisation et d’estimation d’état, celle-ci est dotée d’un mécanisme de projection évitant toute dérive des paramètres estimés. La stabilité semi globale du système de commande en boucle fermée et la poursuite parfaite de la trajectoire de référence par la tension de sortie sont formellement établies.

Le papier est organisé comme suit : la section II est consacrée à la présentation du convertisseur et du modèle ; le schéma de commande est élaboré dans les sections III et IV et analysé dans la section V; ses performances sont illustrées par simulation dans la section VI.
II. modélisation du convertisseur src

En appliquant les lois des mailles et des nœuds au convertisseur SRC de la figure 1, on obtient le modèle suivant:

(1)

(2)

(3)

et représentent respectivement la tension et le courant dans le circuit résonant ; désigne la tension de sortie aux bornes de la charge (ici une résistance R) ; la source alimentant le convertisseur est caractérisée par une amplitude constante E et une fréquence de découpage variable ; et désignent respectivement l’inductance et la capacité du circuit résonant et la capacité du filtrage en sortie.

Il convient de remarquer que la pulsation est la seule variable de commande du système puisque l’amplitude est supposée constante.



Fig. 1. Convertisseur SRC étudié
Bien que le modèle de connaissance (1)-(3) décrive le comportement dynamique du convertisseur, il est difficilement utilisable dans la synthèse de la commande. Il s’avère donc nécessaire d’en déduire une version plus simple, mais assez précise, pour résoudre le problème de commande. Dans ce travail, nous optons pour une version basée sur l’approximation du premier harmonique du modèle de connaissance (1)-(3). L’élaboration de cette version s’appuie sur l’hypothèse suivante:
Hypothèse H1. La tension et le courant sont approximés avec une grande précision par leurs premiers harmoniques (notés et respectivement).
Conformément à [5], Le modèle premier harmonique du modèle (1)-(3) est donné par les équations suivantes :

(4)

(5)

(6)

Par opposition au modèle (1)-(3), le modèle (4)-(6) est affine en la commande. Cependant, ce dernier implique des états complexes. On décompose alors ces états en parties réelles et imaginaires :

, , (7)

En substituant ces expressions dans (4)-(6), on obtient le modèle harmonique suivant :

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

avec et . Les seules sorties accessibles à la mesure sont :

, , (13)
III. Observateur a grand gain

Dans [6], un observateur non linéaire à grand gain, robuste vis-à-vis de la charge, a été développé pour estimer les états non mesurables () du modèle (8)-(12). L’observateur repose sur la transformation d’état suivante :
(14)

(15) ; ; (16)

; ; ; ; (17)
Par manque d’espace, les équations décrivant le système (8)-(12) dans les nouvelles coordonnées ne sont pas présentées ici. En s’appuyant sur les équations transformées, on a élaboré dans [6] l’observateur suivant :
(18a)

(18b)

(18c)



(18d)

(18e)



(18f)

(18g)

(18h)

désigne un paramètre de synthèse. L’observateur ci-dessus a fait l’objet d’une analyse de la convergence basée sur la fonction de Lyapunov suivante [6]:

(19)

décrit l’erreur d’estimation définit par :

(20)

et la matrice diagonale bloc suivante:

(21)

Dans (21), est la matrice unité d’ordre 2 et est la matrice symétrique définie positive solution de l’équation algébrique de Lyapunov suivante :

(22)

avec

; (23)

Il convient de souligner que le modèle du système exprimé dans les coordonnées se confond avec (18a-g) si l’on pose dans ce dernier. Le résultat suivant a été démontré dans [6].
Théorème 1. Considérons le système (1)-(3), défini dans les coordonnées z, soumis à l’hypothèse H1. Supposons que l’état z soit borné auquel cas les non-linéarités du système deviennent Lipshitziennes. Alors, la dérivée de par rapport au temps satisfait l’inégalité :

,

où l est une constante qui dépend des coefficients de Liptshitz des non-linéarités du modèle en z. Il s’ensuit que l’erreur d’estimation converge exponentiellement vers zéro, quel que soit l’état initial borné.
IV. synthese de la commande adaptative

Dans ce paragraphe, nous visons l’élaboration d’un régulateur à retour de sortie capable de forcer la tension de sortie à suivre parfaitement sa trajectoire de référence, notée , tout en préservant la stabilité en boucle fermée. Comme la résistance de charge R est inconnue et peut subir des variations pendant le fonctionnement, le régulateur sera doté d’une capacité d’adaptation permettant une estimation en ligne du paramètre inconnu . Le paramètre estimé et l’erreur d’estimation sont notés respectivement et . En outre, étant donné que les variables d’état dans le modèle de base ne sont pas toutes mesurables, la synthèse du régulateur reposera sur le modèle observé (18a-h). La technique de synthèse utilisée est celle dite du backstepping [7]. Dans le cas présent, elle se décline en trois étapes:
Etape 1  : introduisons l’erreur suivante

(24)

désigne la tension de référence supposée constante.

La dynamique de s’obtient en dérivons (24) :

(25)

Dans le but de stabiliser le système (25), prenons comme fonction de Lyapunov

(26)

est une constante positive de synthèse appelé gain d’adaptation.

La dérivée de le long de la trajectoire est

(27)

où la première fonction de régression est définie comme étant :

(28)

À partir de (27), il est clair qu’on peut éliminer le terme de en adoptant la loi avec. Dans ce cas convergera vers zéro si l’on prend et on choisit la fonction stabilisante comme suit:

(29)

est un paramètre de synthèse .

Puisque n’est pas notre commande effective, on ne peut pas prendre comme loi d’adaptation des paramètres. Néanmoins, nous retenons comme notre première fonction de réglage et par conséquent le terme en dans subsistera. Introduisons la seconde erreur :

(30)

En reportant (30) dans (25) puis dans (27), il vient:
(31)

(32)

Ainsi se termine la première étape.
Etape 2 : l’objectif est désormais de stabiliser asymptotiquement le système. Pour cela la dynamique de est déterminée en dérivons (30) puis en utilisant (16), (17),(24), (25) et (29). Ce faisant on obtient:
(33)

Puisque les états () ne sont pas accessibles, ils sont alors remplacés dans (33) par leur estimés données par (18c)-(18d). On obtient alors:




(34)

et sont respectivement les erreurs d’estimation de et. Introduisons la troisième erreur:

(35)
Alors (34) peut s’écrire de la manière suivante:

(36)
Où la deuxième fonction de régression est donnée par :

(37)

et



(38)

(39)

Notons que le terme perturbateur s’annule exponentiellement avec . Considérons la fonction de lyapunov augmentée suivante :

(40)

sa dérivée le long de la trajectoire est:



(41)

Le terme en dans Peut être annulée de moyennant la loi d’adaptation , avec :

(42)

Si était la commande effective dans (34), et était nul, on aurait en adoptant la loi d’adaptation (42) et en choisissant :
(43)
Puisque est juste une commande virtuelle, la loi d’adaptation précédente n’est pas suffisante. Néanmoins, nous retenons comme seconde fonction de réglage, alors il vient de (41) que :



(44)

Au regard de (31),(36) et (43); le système devient :



(45)

Etape : Examinons la dérivée de

(46)

On obtient à partir de (16) et (18d):

(47)

avec

(48)

Et à partir de (43) :


(49)
À la lumière de (28), (38) et (45), les dérivées de sont données par les équations suivantes:
(50)

(51)

(52)

(53)
Pour alléger la présentation du papier, les expressions exactes des quantités (i.e.,, , , , , et ) sont placées en annexe .

Remplaçons (47) et (49) dans (46), on obtient:
(54)
désigne la troisième fonction de régression définie par:


(55)

et





(56)

(57)

(58)

Nous assistons à l’apparition pour la première fois, de la variable commande . Le problème de stabilisation du système peut être appréhendé en considérant la fonction de lyapunov suivante:

(59)

Sa dérivée compte tenu de (44) et (54) est:



(60)

Le terme en peut être annulé, moyennant le choix suivant de loi d’adaptation

== (61)
Cependant, le terme d’erreur dans (60) pourrait causer la divergence du paramètre estimé du fait de la nature intégrale de la loi d’adaptation paramétrique. Pour éviter ce problème, et assurer la robustesse du régulateur adaptatif, on introduit un mécanisme de projection dans le processus d’estimation. Spécifiquement, la loi d’adaptation paramétrique est définie par ([8]) :

(62)

(63)

avec.
est choisi tel que . Il est clair que la loi d’adaptation maintient l’estimée dans le compact borné . Par ailleurs, l’opérateur de projection possède la propriété fondamentale suivante ([8]):
(64)
L’expression de suggère alors la loi de commande suivante:
(65)
est un paramètre de synthèse et est un terme

correcteur à déterminer en vue de compenser la saturation dans la loi d’adaptation. Compte-tenu de (60),(63) on prend:
(66)

V. ANALYSE DE LA STABILITE DE LA BOUCLE FERMEE

En combinant (45), (54), (62) et (65), on obtient les équations suivantes décrivant l’évolution des trajectoires des erreurs et :

(67)

(68)

est la matrice symétrique définit par:

, () (69)

et

; (80)

; (81)

En plus des équations (67)-(68), le système en boucle fermée est aussi décrit par les équations (non mentionnées ici pour raison de manque d’espace) du système d’erreur d’estimation . La stabilité semi-globale du système étudié en boucle fermée est décrite dans le théorème suivant en utilisant la fonction de Lyapunov augmentée :

(82)
Théorème 2. Considérons le système constitué d’un convertisseur SRC, décrit par le modèle (8)-(12), en boucle fermée avec le régulateur adaptatif composé de la loi de commande (65), la loi d’adaptation (62) et l’observateur d’état (18a-h). Alors, , tel que, si , et , alors:

1) Tous les signaux en boucle fermée restent bornés, et l’erreur d’estimation converge vers zéro,

2) L’erreur de régulation converge vers zéro,

3) Le paramètre estimé converge vers sa vraie valeur.

La preuve de ce théorème est relativement longue et par conséquent ne pouvait pas être incluse dans le papier. Elle peut être fournie sur demande à l’auteur.

VI . simulation

Les performances du régulateur adaptatif proposé seront évaluées par voie de simulation. Les paramètres du système commandé sont mentionnés dans la table 1. La charge variable est périodique de période 0.3 s. Elle commute entre et à chaque demi période. Les paramètres du régulateur se sont vus affectés les valeurs suivantes qui se sont avérées adéquates:

,,,, et .


Table 1: parameters de SRC

paramètre

Symbole

valeur

unité

Inductance

L



H

Capacité

C



F

Capacité

Co



F


Les conditions initiales de et sont respectivement:




La fig. 2 illustre la sortie du convertisseur, obtenue en boucle fermée, en réponse à une référence constante égale à . Il est constaté que la sortie rejoint rapidement sa valeur de référence après chaque changement de la charge. Ceci est dû au fait que l’estimé converge rapidement vers sa vraie valeur R (Fig. 3). Enfin, on observe sur la fig. 4 que les états estimés par l’observateur convergent bien vers leur varies trajectoires après 5 ms.


  1. Conclusion



Dans cet article, le problème de la régulation de la tension de sortie d’un convertisseur SRC est abordé. Un observateur à grand gain et un régulateur adaptatif robuste par retour de sortie sont synthétisés. La poursuite de la tension de référence est obtenue en assurant une stabilité semi-globale de la boucle fermée.

ANNEXE

;

    References

[1] Oruganti R., J.J. Young, F.C Lee. ”Implementation of optimal trajectory control of series resonant converters”. IEEE Trans. Electron., vol 13, pp 318-327, 1998.

[2] Sosa A., J.L. Castilla, M. De Vicuna, L.G. Miret, J. Cruz. Sliding mode control for the fixed-frequency series resonant converter with asymmetrical clamped-mode modulation. IEEE ISIE, Vol 2, pp.675-680, 2005.

[3] Sira-Ramirez H. and R. Silva-Ortega, “On the control of the resonant converters: a hybrid flatness approach”, 15th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, South Bend, August, 2002.

[4] Carasco J.M., G. Escobar, R. Ortega “Analysis and experimentation nonlinear dissipative controller for the series resonant converter” IEEE Trans. Power Electronics, vol. 15, No.3, pp.536-444, 2000.

[5] S.Bacha, A.Hassan, S.Chniba, M.Brunello, JP.Ferrieux ”Lagrge signal model for series resonant converters” journal de physique, May 1992.

[6] Giri F., F. Liu, O. El maguiri, H. El Fadil,” Observation of state variables in resonant DC-DC converter using the high gain design approach” IFAC Symposium on Power Plants and Power Systems Control, 2009


[7] Krstic M., I. Kanellakopoulos and P.V. Kokotovic, “Nonlinear and adaptive control design”, Willey, 1995.

[8] Ioannou P. and B. Fidan. ‘Adaptive control tutorial’. SIAM, Philadelphia,2006.

Fig 2. Régulation de la tension de sortie en présence de la charge



Fig 3. Paramètre estimé (continue) en présence de la variation de la charge (discontinue)



Fig 4. erreurs d’observation avec ()

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