Epreuve de L3- statistique avancées mat50 – mai 2010





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date de publication12.12.2019
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Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – mai 2010

Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)


Lors de l’étude de la fiabilité d’une certaine machine, on s’intéresse au nombre de ses défaillances X dans une journée, supposé suivre une loi géométrique de paramètre 1-θ, 0< θ <1:


Indications : On note que :

  • Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors

  • La loi de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) de loi géométrique de paramètre p est une variable aléatoire Y de loi de Pascal d’ordre n et de probabilité p, donnée par :



Partie I : Estimation

On veut estimer le paramètre θ inconnu à l’aide d’un échantillon i.i.d de même loi que X.

  1. Calculer l’estimateur des moments de θ et montrer qu’il est égal à l’estimateur du maximum de vraisemblance. Donner le signe de son biais. Cet estimateur est-il convergent ? Calculer l’information de Fisher apportée par l’échantillon sur le paramètre θ.

  2. Soit Y la variable aléatoire valant 1 si et 0 sinon. Montrer que Y est un estimateur sans biais de θ. Peut-il s’agir d’un bon estimateur de θ ?

  3. Montrer queest une statistique exhaustive de θ.

  4. A l’aide du théorème de Rao-Blackwell, montrer qu’un estimateur de θ meilleur que Y est donné par .

  5. Vérifier que est sans biais et convergent.

  6. Montrer sans calcul supplémentaire que n’est pas un estimateur efficace de θ et que seul le paramètre peut être estimé efficacement.

  7. Donner l’estimateur efficace de r, noté ainsi que sa variance et sa loi limite. Comparer avec l’estimateur du maximum de vraisemblance de r.


Partie II : Tests
On veut tester


Au niveau =10% à l’aide d’un échantillon i.i.d de même loi que X. On suppose que n>50, de sorte que la loi de peut être considérée comme une loi normale.


  1. Calculer la région critique du test de Neyman-Pearson en fonction de n. Donner le résultat pour n=100.

  2. Calculer la puissance de ce test en fonction de n. Donner le résultat lorsque n=100.

  3. Quelle doit être la valeur minimale de n pour que la puissance dépasse 90%

  4. Existe-t-il un test UPP de niveau  pour le problème :


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