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date de publication19.12.2019
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Induction électromagnétique

Régimes variables

Résumé de Cours
I. LE PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE :
A. Définition :

C’est une conversion électromécanique, réalisée au moyen d’un transducteur. Dans le sens mécanique  électrique, l’appareil est un générateur, & dans le sens électriquemécanique, l’appareil est un moteur. En principe, on considèrera que sur l’organe actif du transducteur (induit par exemple) la conversion est idéale (sans pertes) comme on le verra plus loin pour le bilan de puissances. On a donc des applications évidentes (notamment toute l’électrotechnique). Le phénomène d’induction électro-magnétique suppose que l’on soit en régime variable (car en régime permanent il ne se passe rien dans le repère lié).
B. Le traitement mathématique :

On aura toujours deux variables dépendant du temps, l’une d’origine électrique (ce sera toujours l’intensité I du courant), l’autre d’origine mécanique : la vitesse V pour un mouvement de translation (rare, cas du moteur linéaire), la vitesse angulaire  (fréquent, cas des machines tournantes). Ces deux variables interviendront toujours simultanément dans deux équations différentielles : l’équation électrique (E), que l’on écrira toujours homogène à des tensions, & l’équation mécanique (M) qui traduira la relation fondamentale de la dynamique (donc homogène à des forces) pour un mouvement de translation, ou le théorème du moment cinétique (donc homogène à des couples) pour un mouvement de rotation. Par élimination, on arrivera à deux équations différentielles (de même type) où n’interviendra qu’une des deux fonctions inconnues. On les intègrera, compte tenu des conditions initiales données.
Remarque : un régime transitoire (RT) fait passer le système d’un premier régime permanent (RP1) correspondant à l’état initial, à un second régime permanent (RP2) correspondant à l’état final. Il sera toujours possible de trouver les valeurs des deux inconnues pour ces deux régimes permanents.
C. Bilan de puissances :

Comme il ne nécessite que l’écriture des équations (E) & (M), il peut être fait avant ou après l’intégration de ces équations. Pour cela : on multiplie l’équation électrique (E), homogène à des tensions, par la fonction I (t) pour obtenir une quantité homogène à une puissance. Dans le cas d’un mouvement de translation, l’équation mécanique (M) est homogène à des forces & sera donc multipliée par la fonction V (t). Dans le cas d’un mouvement de rotation, l’équation mécanique (M) est homogène à des couples & sera donc multipliée par la fonction  (t). Il apparaîtra toujours un terme (dit de couplage, proportionnel au produit des deux fonctions I(t).V(t) ou I(t).(t)) qu’il suffira d’éliminer pour obtenir une équation bilan de forme générale : . La puissance fournie PFournie, d’origine mécanique pour un générateur & électrique pour un moteur, doit l’être en permanence, & pas seulement à l’état initial, & sera nulle si le système est isolé. La puissance dissipée par les pertes PPertes comprendra toujours l’effet Joule, & un terme mécanique s’il y a des frottements. Enfin, la quantité E représente l’énergie totale (toutes formes électriques ou mécaniques) du système.
II. ETUDE THEORIQUE DE L’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE :
A. Cas particuliers :

On définit le cas de Lorentz (circuit mobile dans un champ magnétique indépendant du temps) & le cas de Neumann, complémentaire (circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps). Le cas le plus général est obtenu par superposition des deux.

B. Calcul des fem induites :

L’écriture de l’équation électrique (E) suppose de pouvoir calculer la fem induite e. Le principe du calcul dépend du cas. Pour le cas de Lorentz, on passe par le champ électromoteur (ce qui dispense d’une convention d’orientation du circuit). Pour le cas de Neumann, pour éviter le potentiel – vecteur, on passe par le flux (loi de Faraday, la convention d’orientation étant alors indispensable). Dans le cas général, le théorème de superposition donne e = e1 + e2, où la fem de Lorentz est calculée par le champ électromoteur & la fem de Neumann par le flux. Expressions du champ électromoteur :



La dernière formule est conforme, dans le cas des faibles vitesses (v << c) à la transformation relativiste de Lorentz des champs. Il est clair que le force de Lorentz faisant intervenir la vitesse n’est pas invariante par transformation classique de Galilée.

Expressions de la fem induite :



La seconde formule traduit la loi intégrale de Faraday, postulat d’origine expérimentale, à éviter si le domaine d’intégration évolue (cas de Lorentz en particulier). Le signe – de cette loi traduit (comme dans une force de rappel) la loi de Lenz, qui est une loi de modération (comme les lois de Van’t Hoff ou Le Châtelier en chimie) traduisant que le système était dans un état d’équilibre stable avant la perturbation qui a donné naissance au courant induit. Rappelons que : .

Remarque : il peut apparaître une fem induite sans qu’il y ait variation de flux : c’est le cas du flux coupé, quand le circuit coupe, dans son mouvement, des lignes de champ magnétique (cas du cadre du galvanomètre).
C. Equation de Maxwell – Faraday :

Les équations de Maxwell sont écrites dans le référentiel lié au circuit (le seul clairement défini), donc dans le cas de Neumann. Alors la loi locale associée à l’équation intégrale de Faraday est l’équation de Maxwell-Faraday : , où est appelé champ électrique, & est donc constitué de la somme du champ électrostatique (qui est un gradient, donc un champ à circulation conservative) & du champ électromoteur (qui, lui, n’a pas cette propriété).
III. ENERGIE MAGNETIQUE :
A. Expressions du flux :

La relation de définition s’écrit, en utilisant le théorème de Stokes : pour un circuit filiforme C. En utilisant l’expression du potentiel-vecteur pour un circuit filiforme, on établit la formule de Neumann donnant l’expression de l’inductance mutuelle entre deux circuits filiformes Cp & Cq, qui ne présente qu’un intérêt théorique car difficile à manipuler. On obtient :



La première formule (qui est la définition de l’inductance propre) donne le flux propre pour un seul circuit, la seconde (qui est la définition de l’inductance mutuelle) donne le flux total à travers un circuit. Il en résulte que .
B. Travail des forces électromagnétiques :

Dans le cas général, il y a production d’un travail électrique dTI (provenant de la fem induite) & donc donné par la première relation, & d’un travail mécanique dTD dans le cas de Lorentz (alors opposé au travail électrique car la force de Lorentz ne travaille pas) :



La seconde relation, qui constitue le théorème de Maxwell, redonne le travail électrique par utilisation de la loi de Faraday.
C. Energie mécanique :

Dans le cas d’un seul circuit, on peut concevoir que le courant est maintenu constant. Alors l’énergie est purement mécanique & l’on a : , la dernière expression correspondant au cas d’un dipôle magnétique.
D. Energie magnétique :

Quand on a plusieurs circuits, on ne peut plus avoir de courants constants (à cause des mouvements relatifs). Alors (cas aussi d’un seul circuit en courant variable) : . Alors la loi de Faraday donne, dans le cas de l’auto-induction d’où l’on déduit :



La dernière relation traduit la localisation de l’énergie magnétique.
Remarque : l’énergie est donc une forme quadratique définie positive des courants, ce qui conduit à : , où k est le coefficient de couplage.
IV. REGIMES VARIABLES :
On étudie des dipôles linéaires passifs R-C, R-L, R-L-C en régime variable (en restant dans le cadre de l'ARQP, approximation des régimes quasi - permanents, ce qui exclut les phénomènes de propagation).
A. Lois tension - courant :

Pour les conventions d'orientation, voir les figures 1, 2 & 3 page suivante.



La résistance suit la loi d'Ohm. La figure 2 correspond à la charge du condensateur. Dans le cas d'une décharge, q décroît, , le courant change de sens pour une polarisation donnée du condensateur. Dans une inductance, naît une fem induite donnée par la loi de Faraday : , en opposition sur le courant (loi de Lenz).




Remarques :

* les éléments R, C, L sont supposés parfaits.

* on passe du régime variable quelconque au régime sinusoïdal en changeant d/dt en j. Les trois formules précédentes donneront alors la loi d'Ohm en grandeurs complexes.
B. Circuits R-C :

Ils sont régis par l'équation différentielle du premier ordre : dont l’intégration conduit à : .

La charge du condensateur à travers la résistance R, par le générateur E, correspond à un régime transitoire de durée 6,9. (temps au bout duquel les grandeurs Uc & ic diffèrent de moins de 0,1% de leurs valeurs d'équilibre E & 0). La constante de temps  apparaît alors comme un temps de relaxation entre les deux régimes permanents (0, 0) & (E, 0). On rappelle que :
Pour les circuits R-C, Uc(t) est continue & ic(t) est discontinue pour t = 0.
Remarque : l'équation différentielle de la décharge s'obtient en annulant E ; ic change de sens, mais sa valeur est inchangée. Uc vaut alors .
C. Circuits R-L :

Ils sont régis par l'équation différentielle du premier ordre : dont l’intégration conduit à : .

Cette équation différentielle décrit l'établissement du courant dans un circuit inductif. Comme en B, on a un régime transitoire, les grandeurs iL & UL différant de leurs valeurs d'équilibre E/R & 0 à moins de 0,1% près au bout de 6,9.. Ce régime transitoire sépare les deux régimes permanents (0, 0) & (E/R, 0). On rappelle que :
Pour les circuits R-L, iL(t) est continu & UL(t) est discontinue pour t = 0.
Remarque : rupture du courant dans un circuit inductif : si on fait E = 0 dans l'équation différentielle précédente, alors la loi obtenue est physiquement acceptable, mais la loi ne rend pas compte du phénomène de surtension observé. Si on corrige l'équation en remplaçant R par R(t) qui croit à l'ouverture du circuit, on améliore UL qui traduit alors la surtension mais iL ne convient plus, donc pas de modèle simple.
D. Circuits R-L-C :

Toutes les grandeurs sont maintenant continues en t = 0.
1.Circuit série :

Il est régi par l'équation différentielle du second ordre : , où la quantité est la pulsation propre du circuit, est le facteur de qualité du circuit, & y = q, charge du condensateur. Cette équation sous forme standard étant déduite de l'équation : UE(t) est la tension d'alimentation, il en résulte que l’on a :

. Enfin, rappelons la définition la plus générale du facteur de qualité d'un oscillateur quelconque (électrique, mécanique, acoustique, optique,..) :

.
La solution générale d'une telle équation comprend deux termes :

  • y1 est la solution de l'équation homogène associée (second membre nul) & correspond au régime libre d'oscillation. La substitution permet de passer à l'équation caractéristique :

. En posant , on obtient : , d’où les solutions :

*  = 0 : , oscillateur harmonique ;

*  < o : , avec, régime oscillant amorti ;

*  = o : , régime critique ;

*  > o : , avec , régime apériodique.
Le cas  = 0 étant mis à part, y1 tend toujours vers zéro si t  . Il en résulte que le régime libre correspond à un régime transitoire dont la durée est de l'ordre de 6,9. ; il est indépendant de UE(t).


  • y2 est une intégrale particulière de l'équation complète, & correspond au régime forcé ; on montre en mathématiques que y2 a la même forme que UE(t), & ceci quelles que soient les conditions initiales ; en particulier, si UE(t) = cste, y2 = = cste.

  • (équation linéaire). Les constantes d'intégration figurant dans y1 sont déterminées par application des conditions initiales à la solution complète y. Dans tous les cas, pour t > 6,9., y se réduit à y2.


2.Circuit parallèle :

Son étude se déduit de celle du circuit série par dualité. Alors l'équation différentielle qui régit le circuit est formellement la même : , avec (flux dans l'inductance), où o est inchangé, le facteur de qualité valant (donc inverse de Qsérie), & où , iE(t) étant le courant issu du générateur.

On en déduit alors les solutions par dualité.


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