L’analyse de variance à deux facteurs sans répétition permet de tester statistiquement l’influence de chacun des facteurs étudiés sur la variable Y. Deux tests





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date de publication19.12.2019
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III.Analyse de variance

L’analyse de variance à deux facteurs sans répétition permet de tester statistiquement l’influence de chacun des facteurs étudiés sur la variable Y. Deux tests statistiques sont pratiqués. Si les postulats sont vérifiés et si l'hypothèse H0 est vraie , ces tests suivent chacun une loi de Fisher. Chacun des tests confronte la variabilité due au facteur à la variabilité résiduelle. Pour chaque test, l’hypothèse nulle H0 et l’hypothèse alternative H1 portent sur des paramètres du modèle :

                                           Yij = + i + j + ij

 : moyenne de référence

i = i. –               effet moyen de la modalité Ai du facteur A

j = .j –               effet moyen de la modalité Bj du facteur B

 

Le premier test statistique porte sur l’influence du facteur A

              H0                                                            H1

Le facteur A n’influence pas la            Le facteur A influence la variable Y.

variable Y ; les effets moyens             Au moins un effet moyen du facteur

du facteur A ne diffèrent pas              A est non nul.

entre eux.

              i i = 0                                               i / i  0

 

Le deuxième test porte sur l’influence du facteur B

           H0                                                            H1

Le facteur B n’influence pas la            Le facteur B influence la variable Y.

variable Y ; les effets moyens             Au moins un effet moyen du facteur

du facteur B ne diffèrent pas               B est non nul.

entre eux.

 j  j = 0                                             j / j 0


Chaque test statistique confronte le carré moyen dû à l'effet considéré au carré moyen résiduel.

 

Calcul des carrés moyens 


Un carré moyen est le rapport d'une somme de carrés d'écarts divisée par des degrés de liberté.

 

Carré moyen dû au facteur A : CMA

 

 - numérateur : la somme des carrés des écarts due au facteur A, SCEA

http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f01.jpg

http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f02.jpg


Les expressions de gauche permettent le calcul de la somme des carrés d'écarts. Les deux expressions de droite traduisent bien que c'est la variation des effets moyens du facteur A qui est considérée.


- dénominateur : les degrés de liberté du facteur A : a - 1. Il s'agit du nombre de paramètres i indépendants. 


 http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f03.jpg 


Carré moyen dû au facteur B : CM
B


- numérateur : la somme des carrés d'écarts due au facteur B, SCEB

http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f04.jpg

http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f05.jpg


Ces formules de calcul montrent bien que cette somme de carrés prend en compte la variabilité des effets moyens du facteur B.


- dénominateur : degrés de liberté pour le facteur B : b - 1, nombre de paramètres j indépendants.
 http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f06.jpg 

Quel est le nombre P de paramètres du modèle additif ?

Rappel : P est le nombre de paramètres indépendants. 

 

Carré moyen résiduel : CMR


- numérateur : la somme des carrés d'écarts résiduelle, SCER 

http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f01_09-10.jpg

- dénominateur : degrés de liberté résiduels, n - P. Ceux-ci correspondent à la différence entre n = ab, l'effectif total d'individus statistiques et P = a + b - 1, le nombre total de paramètres du modèle additif.

                                                                  

    http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f02_09-10.jpg                                 

Les degrés de liberté associés à la somme des carré d’écarts totale http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f09.jpg, valent n – 1 = ab - 1

 

Question : combien y-a-t-il d’écarts introduits dans chaque somme de carrés d’écarts ?


Tableau d’analyse de la variance



Le risque de première espèce, , est choisi au début de l’expérience.

Source de variation

somme des carrés d'écarts    SCE

Degrés de liberté           dl

Carré moyen

F observé

totale

SCET

ab - 1

 

 

Facteur A

SCEA

a - 1

CMA

CMA / CMR

Facteur B

SCEB

b - 1

CMB

CMB / CMR

résiduelle

SCER

(a - 1)(b - 1)

CMR




dlT = dlA + dlB + dlR

SCET = SCEA + SCEB + SCER

Les degrés de liberté résiduels se calculent comme ceux de l’interaction dans le cas du modèle interactif.

Ce tableau est complété soit par la colonne des valeurs critiques, soit par celle des probabilités associées (« p value »). 

Sous H0 et si les postulats sont respectés, la valeur de F observée pour le facteur A suit une loi de F(a-1,n-p) ; celle observée pour le facteur B suit une loi F(b-1,n-p). On rejette H0 si la valeur observée est supérieure à la valeur critique du test, ou, si la probabilité associée à la valeur observée est inférieure à .


*****


Application à l’exemple

a = 9 b = 3 n = 27

valeurs des moyennes

http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f10.jpg

médicament               

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

M8

M9

pourcentage moyen http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f11.jpg 

16,77

16,80

17,70

17,57

15,93

16,10

16,13

16,23

15,90






médicament

P1 

P2 

P3 

amélioration moyenne http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f12.jpg

15,72

17,01

16,98



Variabilité due aux médicaments


 http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f03_09-10.jpg


Variabilité due aux classes de poids

 

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Variabilité résiduelle
http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f05_09-10.jpg

Variabilité totale

  http://cours.lasalle-beauvais.fr/courses/anova_001/document/images/mod3_aov_f06_09-10.jpg

Remarque SCEtotale = SCEpatient + SCEtraitement + SCErésiduelle


Tableau d’analyse de la variance

Le risque  est choisi égal à 5%

Source de variation

somme des carrés d'écarts    SCE

Degrés de liberté           dl

Carré moyen

F observé

P(F)

totale

25,676

27 - 1 = 26

 

 

 

patient

11,22

9 - 1 = 8

1,403

4,74

0,004

médicament

9,72

3 - 1= 2

4,86

16,41

0,0001

résiduelle

4,737

8,2 = 16

0,296







Questions : cherchez dans la table des fractiles de F, les deux valeurs critiques correspondant à chaque test pratiqué. Concluez sur l’effet des facteurs.

La probabilité associée sous H0 à la valeur 4,74 est inférieure à 0,05 ; on rejette H0. Les médicaments ont des influences différentes sur le pourcentage d'accident cardio-vasculaire dans les 10 ans. La probabilité associée sous H0 à la valeur 16,41 est inférieure à 0,05, on rejette H0 ; les trois classes de poids induisent des des pourcentages d'accident cardio-vasculaire différents.


Un test de comparaisons multiples des moyennes va permettre d’identifier les patients présentant des réponses similaires ; de savoir si les traitements induisent des améliorations toutes différentes.

                                                        

                                                                   *****

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