On note le côté du carré, et sa surface (on a donc )





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Classe de Première 10 Mardi 28 mai 2013

Devoir surveillé de mathématiques n°9
Exercice 1 (13 points)

On construit une suite de carrés où le côté de chaque carré est égal aux du précédent, le premier étant de côté 4 (voir figure où seulement 4 carrés sont représentés) .

Les 3 parties sont indépendantes.

Partie A

  1. On note le côté du carré, et sa surface (on a donc ).

  1. Quelle est la nature des suites et  ?

  2. Donner l’expression de en fonction de .

  3. Quel est le côté du dixième carré ?

  4. Quelle est la limite de la suite   ?

  1. On a écrit l’algorithme suivant :

Variables :

Début algorithme

Lire

reçoit 4

reçoit 1

Tant que faire

reçoit

reçoit

Fin tant que

Afficher .

Fin algorithme.

  1. Quel est l’objectif de cet algorithme ?

  2. Quelle est sa sortie quand l’utilisateur entre la valeur 5 ?

  1. On appelle la hauteur totale (en fonction de ) de la tour formée par les premiers carrés. Démontrer que . Quelle est la limite de  ? Comment interprète-t-on ce résultat ?

Partie B

On s’intéresse maintenant aux deux premiers carrés (voir figure).

  1. Calculer et puis, à l’aide de la formule d’Al Kashi, calculer l’angle .

  2. Calculer les produits scalaires , , , (on expliquera ses calculs)

  3. Déterminer l’angle

Partie C

On reprend la figure formée par les deux premiers carrés, mais cette fois est de côté 1, et le rapport entre les deux côtés est (ainsi ). On se place dans le repère

  1. Quelles sont les coordonnées de  ?

  2. En écrivant , démontrer que .

  3. Donner les coordonnées de et .

  4. Démontrer que

  5. Calculer .

  6. Que peut-on en déduire pour les vecteurs et  ?


Exercice 2 (7 points)

  1. Soit un entier naturel non nul

  1. Rappeler sans justification les valeurs de .

  2. En déduire la ligne du triangle de Pascal (expliquer brièvement).

  3. Comment à partir de la ligne 3 obtient-on la ligne 4 ?

  1. On jette 4 fois un dé équilibré.

  1. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 fois le 6 ?

  2. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 ou 3 fois le 6 ?

  1. On refait l’expérience précédente avec un dé truqué.

  1. On appelle la probabilité d’obtenir le 6. Donner en fonction de la probabilité d’obtenir 2 fois le 6.

  2. Montrer que la probabilité d’obtenir 2 ou 3 fois le 6 est

  1. On appelle la fonction définie sur R par .

  1. Démontrer que

  2. Étudier les variations de .

  1. Déduire des questions précédentes la valeur de pour laquelle la probabilité d’obtenir 2 ou 3 fois le 6 est maximale.


Exercice 1 

Partie A :

  1. On passe d’un côté au suivante n multipliant par , la suite est géométrique de raison . L’aire est le carré du côté, on passe d’une aire à la suivante en multipliant par , la suite est donc géométrique de raison .

On a donc pour tout , .

Pour , on trouve

La raison est comprise entre 0 et 1, la suite a pour limite 0 (0.5)

  1. L’algorithme calcule tous les termes jusqu’à ce qu’ils soient inférieurs à , où est la valeur entrée par l’utilisateur.

Pour , l’algorithme affiche

  1. La hauteur totale est . C’est la somme d’une suite géométrique, elle vaut donc, d’après le cours, . Comme a pour limite 0, la suite a pour limite 16 , c’est la hauteur que l’on obtiendrait en mettant une infinité de carrés.

Partie B :

  1. On a , donc s’écrit . On obtient et (

  2. (vecteurs colinéaires de sens contraires)

(vecteurs perpendiculaires)



. Compte tenu des vecteurs colinéaires et orthogonaux, on obtient .

  1. , . On a donc soit

Partie C



  1. , et donc soit

  2. On a donc et

  3. , donc

  4. donc

  5. donc . Les deux vecteurs et sont perpendiculaires


Exercice 2 : 1.5+1.5+1.5+2+0.5=7

  1. .

On prend , on a donc 1 3 3 1 pour la ligne 3 du triangle

On utilise la formule ce qui donne 1 4 6 4 1

  1. On est dans le cadre de la loi binomiale de paramètres 4 et , donc la probabilité d’obtenir exactement 2 fois le 6 est égale à

La probabilité d’obtenir 2 ou 3 fois le 6 est

  1. Cette fois, la probabilité d’obtenir 6 est , donc la probabilité d’obtenir 2 fois le 6 est

De même la probabilité d’obtenir 3 fois le 6 est .

Finalement, la probabilité d’avoir 2 ou 3 fois le 6 est ce qui donne

  1. donc

Le discriminant du trinôme vaut , il a pour racines et . Il est négatif entre ses racines.

On a le tableau :
































0




























0



0













0



0



0














0

















  1. Comme une probabilité est comprise entre 0 et 1 et que 1 est entre et , la probabilité est maximale quand

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