TD2 : Rappels de Probabilités

Exercice 1 : formule de Bayes

Exercice 2 : Révision de diverses lois discrètes

Deux joueurs A et B jouent à un jeu de hasard. A chaque partie jouée, A a une probabilité p de la remporter.

1. 
   Loi binomiale : Soit X le nombre de parties remportées par A au bout de n parties. Donner la loi de X.
   

2. Loi géométrique : Soit Y le nombre de parties nécessaires à l’obtention du premier succès de A. Déterminer la loi de Y. Vérifier que l’expression obtenue est bien une loi de probabilité.

3. 
   Loi de Pascal : Soit Z le nombre de parties nécessaires à l’obtention du r° succès de A. Déterminer la loi de Z. Calculer son espérance.
   
4. 
   Loi binomiale négative : Soit T le nombre d’échec précédent le r° succès de A. Donner la loi de Z.
   

Exercice 3 : Probabilités conditionnelles

Y).

Exercice 4 : Lecture graphique de probabilités



Exercice 5 : inégalité de Bienaymé-Tchebychev
On considère la fonction définie par :

1. 
   Déterminer le réel λ pour que soit une densité de probabilité.
   
2. 
   Soit une va. De densité. Calculer.
   
3. 
   Déterminer un intervalle de centre 0 et de longueur tel que.
   
4. 
   Quelle est la probabilité exacte de l’évènement  ?
   

Exercice 6 : Loi d’une fonction d’une variable aléatoire

Exercice 7 : Variable tronquée
Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F. On définit la variable aléatoire Z par Z=min(X,c) où c est un réel. Calculer la fonction de répartition de Z. Z admet-t-elle une densité de probabilité ?

Exercice 8 : Durée de vie de composants électroniques

Soit le circuit électronique représenté figure 3, où sont des composants électroniques. Ce système fonctionne si et seulement si fonctionne ainsi que . Pour tout , la durée de vie du composant suit une loi exponentielle de paramètre . On suppose les variables mutuellement indépendantes.

1. 
   Exprimer la durée de vie V du circuit à l’aide de .
   
2. 
   Calculer la fonction de répartition et la densité de V.
   

Exercice 9 : loi des extrêmes

Exercice 10 : Loi log-normale

Exercice 11 : Lecture de tables